Question

【題目】如圖，已知直線l分別與x軸、y軸交于A，B兩點，與雙曲線y= （a≠0，x＞0）分別交于D、E兩點．

（1）若點D的坐標為（4，1），點E的坐標為（1，4）：
①分別求出直線l與雙曲線的解析式；
②若將直線l向下平移m（m＞0）個單位，當m為何值時，直線l與雙曲線有且只有一個交點？
（2）假設點A的坐標為（a，0），點B的坐標為（0，b），點D為線段AB的n等分點，請直接寫出b的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①把D（4，1）代入y= 得a=1×4=4，

所以反比例函數(shù)解析式為y= （x＞0）；

設直線l的解析式為y=kx+t，

把D（4，1），E（1，4）代入得 ，

解得 ．

所以直線l的解析式為y=﹣x+5；

②直線l向下平移m（m＞0）個單位得到y(tǒng)=﹣x+5﹣m，

當方程組 只有一組解時，直線l與雙曲線有且只有一個交點，

化為關于x的方程得x2+（m﹣5）x+4=0，

△=（m﹣5）2﹣4×4=0，解得m1=1，m2=9，

而m=9時，解得x=﹣2，故舍去，

所以當m=1時，直線l與雙曲線有且只有一個交點

（2）

解：作DF⊥x軸，如圖，

∵點D為線段AB的n等分點，

∴DA：AB=1：n，

∵DF∥OB，

∴△ADF∽△ABO，

∴ ，即 ，

∴AF= ，DF= ，

∴OF=a﹣ ，

∴D點坐標為（a﹣ ， ），

把D（a﹣ ， ）代入y= 得（a﹣ ） =a，

解得b= ．

【解析】（1）①運用待定系數(shù)法可分別得到直線l與雙曲線的解析式；
②直線l向下平移m（m＞0）個單位得到y(tǒng)=﹣x=5﹣m，根據(jù)題意得方程組 只有一組解時，化為關于x的方程得x2+（m﹣5）x+4=0，則△=（m﹣5）2﹣4×4=0，解得m1=1，m2=9，當m=9時，公共點不在第一象限，所以m=1；（2）作DF⊥x軸，由DF∥OB得到△ADF∽△ABO，根據(jù)相似比可得到AF= ，DF= ，則D點坐標為（a﹣ ， ），然后把D點坐標代入反比例函數(shù)解析式中即可得到b的值．
【考點精析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的性質的相關知識點，需要掌握反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線．反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x．對稱中心是：原點；性質:當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減��； 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大才能正確解答此題．