Question

如圖，⊙O₁與⊙O₂外切于點(diǎn)P，外公切線AB切⊙O₁于點(diǎn)A，切⊙O₂于點(diǎn)B，
（1）求證：AP⊥BP；
（2）若⊙O₁與⊙O₂的半徑分別為r和R，求證：

AP2

BP2

=

r

R

；
（3）延長AP交⊙O₂于C，連接BC，若r：R=2：3，求tan∠C的值．

Answer 1

分析：（1）連接O₂B，O₁A，則AO₁⊥AB，O₂B⊥AB，所以AO₁∥O₂B，過點(diǎn)P作兩圓的公切線PF，交于AB于點(diǎn)F，作O₁E⊥AP，O₂D⊥BP．由垂徑定理可證得，點(diǎn)E，點(diǎn)D分別是AP，BP的中點(diǎn)，由弦切角定理和平行線的性質(zhì)，可得到∠FPB+∠FPA=∠APB=90°，即AP⊥BP；
（2）設(shè)∠ABP=∠BO₂D=∠APO₁=β，利用正切的概念，求得（tanβ）²=

AP2

BP2

=

r

R

；
（3）由于∠ABP=∠C，故由（2）的結(jié)果，可得到tan∠C的值．

解答：（1）證明：如圖，連接O₂B，O₁A，則AO₁⊥AB，O₂B⊥AB，所以AO₁∥O₂B，
過點(diǎn)P作兩圓的公切線PF，交于AB于點(diǎn)F，作O₁E⊥AP，O₂D⊥BP．
根據(jù)垂徑定理，得點(diǎn)E，點(diǎn)D分別是AP，BP的中點(diǎn)．
根據(jù)弦切角定理知，∠ABP=∠FPB=

1

2

∠BO₂P，∠BAP=∠FPA=

1

2

∠AO₁P．
∵AO₁∥O₂B，
∴∠AO₁P+∠BO₂P=180°，
∴∠FPB+∠FPA=∠APB=90°，
即AP⊥BP；

（2）證明：∵△APB是直角三角形．
∴∠ABP=∠BO₂D=∠APO₁．
設(shè)∠ABP=∠BO₂D=∠APO₁=β，則有sinβ=

BP

2R

，cosβ=

AP

2r

．
∴tanβ=

r

R

•

BP

AP

=

r

R

•

1

tanβ

，
∴（tanβ）²=

AP2

BP2

=

r

R

，
∴

AP2

BP2

=

r

R

．

（3）解：∵∠ABP=∠C，
∴tan∠C=tanβ=tan∠ABP=

r R

=

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合性較強(qiáng)，綜合利用了切線的性質(zhì)、垂徑定理、弦切角定理、平行線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的概念等知識(shí)點(diǎn)，要靈活應(yīng)用各知識(shí)點(diǎn)．