Question

（11分）已知拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B在軸的正半軸上，點(diǎn)C在軸的正半軸上，OB=2，OC=8，拋物線的對(duì)稱軸是直線．

（1）求此拋物線的表達(dá)式；

（2）連接AC、BC、，若點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合），過(guò)點(diǎn)E做EF//AC交與點(diǎn)F，連接CE，設(shè)AE的長(zhǎng)為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量m的取值范圍；

（3）在（2）的基礎(chǔ)上說(shuō)明S是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出S的最大值，并求出此點(diǎn)E的坐標(biāo)，判斷此時(shí)△BCE的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）；（2），（0＜m＜8）；（3）當(dāng)m＝4時(shí)，S有最大值，．此時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（—2，0）， △BCE是等腰三角形．

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)線段OB、OC的長(zhǎng)，得到點(diǎn)B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得點(diǎn)A坐標(biāo)；把A、B、C三點(diǎn)代入二次函數(shù)解析式就能求得二次函數(shù)解析式；

（2）利用A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)得出AB，CO的長(zhǎng)，即可得出△ABC的面積；易得，只需利用平行得到三角形相似，求得EF長(zhǎng)，進(jìn)而利用相等角的正弦值求得△BEF中BE邊上的高；

（3）利用二次函數(shù)求出最值，進(jìn)而求得點(diǎn)E坐標(biāo)．OC垂直平分BE，那么EC=BC，所求的三角形是等腰三角形．

試題解析：（1）∵點(diǎn)B在軸的正半軸上，點(diǎn)C在軸的正半軸上，OB=2，OC=8，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，8）． 又∵拋物線的對(duì)稱軸是直線，∴由拋物線的對(duì)稱性可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－6，0）．∵點(diǎn)C（0，8）在拋物線的圖象上，∴c ＝8，將A（－6，0）、B（2，0）分別代入，得：，解得：，∴所求拋物線的表達(dá)式為；

（2）依題意，AE＝m，則BE＝8－m， ∵OA＝6，OC＝8，由勾股定理得AC＝10，∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC．∴，即，∴EF＝．過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB，垂足為G，則sin∠FEG＝sin∠CAB＝．∴．∴FG＝，

∴S===，自變量m的取值范圍是0＜m＜8；

（3）存在．理由如下：

∵且，∴當(dāng)m=4時(shí)，S有最大值，，

∵m=4，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣2，0），∴△BCE為等腰三角形．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．