Question

已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是4，與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0），x₁﹤0﹤x₂，與y軸交于點(diǎn)C，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，。

（1）求證： ；

（2）求a、b的值；

（3）若二次函數(shù)圖象與直線僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求二次函數(shù)的最值。

Answer 1

（1）∵圖象的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是4，

∴拋物線的對(duì)稱軸為x=4，即，化簡(jiǎn)得：。

（2）∵二次函數(shù)與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0），x₁＜0＜x₂，

∴OA=－x₁，OB=x₂；。

令x=0，得y=c，∴C（0，c），∴OC=|c|。

由三角函數(shù)定義得：。

∵tan∠CAO－tan∠CBO=2，即 ，化簡(jiǎn)得：。

將 代入得：，化簡(jiǎn)得：。

由（1）知，

∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。

∴a、b的值為： ，或 ，。

（3）①由（2）知，當(dāng) ，時(shí)，拋物線解析式為：。

聯(lián)立拋物線與直線解析式得到：，

化簡(jiǎn)得：。

∵二次函數(shù)圖象與直線僅有一個(gè)交點(diǎn)，

∴一元二次方程根的判別式等于0，即，解得=19。

∴拋物線解析式為：。

當(dāng)x=4時(shí)，二次函數(shù)有最小值，最小值為15。

②由（2）知，當(dāng) ，時(shí)，拋物線解析式為：。

聯(lián)立拋物線與直線解析式得到：，

化簡(jiǎn)得：。

∵二次函數(shù)圖象與直線僅有一個(gè)交點(diǎn)，

∴一元二次方程根的判別式等于0，即，解得=3。

∴拋物線解析式為：。

當(dāng)x=4時(shí)，二次函數(shù)有最大值，最大值為7。

綜上所述，若 ，，=19，二次函數(shù)圖象與直線僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，二次函數(shù)的最小值為15；若 ，，=3，二次函數(shù)圖象與直線僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，二次函數(shù)的最大值為7。

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，銳角三角函數(shù)定義，二次函數(shù)的性質(zhì)，分類思想的應(yīng)用。