Question

【題目】如圖，矩形AOBC，A（0，3）、B（5，0），點(diǎn)E在OB上，∠AEO=45°，點(diǎn)P從點(diǎn)Q（﹣3，0）出發(fā)，沿x軸向右以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t （t≥0）秒．

（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)∠PAE=15°時(shí)，求t的值；

（3）以點(diǎn)P為圓心，PA為半徑的⊙P隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而變化，當(dāng)⊙P與四邊形AEBC的邊（或邊所在的直線）相切時(shí)，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，0）；

（2）t=（3+）s或（3+3）s；

（3）t=0或4或4.6秒時(shí)，⊙P與四邊形AEBC的邊（或邊所在的直線）相切．

【解析】

試題分析：（1）在Rt△AOE中求出OE，即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）如圖1所示，當(dāng)∠PAE=15°時(shí)，可得∠APO=60°，從而可求出PO=，求出QP，即可得出t的值；

（3）以點(diǎn)P為圓心，PA為半徑的⊙P與四邊形AEBC的邊（或邊所在的直線）相切時(shí)，只有一種情況，也就是⊙P與AE邊相切，且切點(diǎn)為點(diǎn)A，如圖2所示，求出PE，得出QP，繼而可得t的值．

試題解析：（1）在Rt△AOE中，OA=3，∠AEO=45°，

∴OE=AO=3，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，0）；

（2）如圖1所示：

∵∠PAE=15°，∠AEO=45°，

∴∠APO=∠PAE+∠AEO=60°，

∴OP=AOtan30°=，

∴QP=3+，

∴t=3+（秒）；

如圖2，∵∠AEO=45°，∠PAE=15°，

∴∠APE=30°，

∵AO=3，

∴OP=3÷=3，

∴t=QP=OQ+OP=（3+3）s；

∴t=（3+）s或（3+3）s．

（3）∵PA是⊙P的半徑，且⊙P與AE相切，

∴點(diǎn)A為切點(diǎn)，如圖3所示：

∵AO=3，∠AEO=45°，

∴AE=3

∴PE=

∴QP=QE﹣PE=6﹣6=0，

∴當(dāng)⊙P與四邊形AEBC的邊AE相切時(shí)，Q，P重合，t的值為0．

∵PA是⊙P的半徑，且⊙P與AE相切，

∴點(diǎn)A為切點(diǎn)，如圖4所示：

當(dāng)點(diǎn)P與O重合時(shí)，⊙P與AC相切，

∴t=3秒；

當(dāng)PA=PB時(shí)，⊙P與BC相切，

設(shè)OP=x，則PB=PA=5﹣x，

在Rt△OAP中，x2+32=（5﹣x）2，

解得：x=1.6，

∴t=3+1.6=4.6（秒）；

∴t=0或4或4.6秒時(shí)，⊙P與四邊形AEBC的邊（或邊所在的直線）相切．