如圖,二次函數(shù)y=-x2+ax+b的圖象與x軸交于A(-
12
,0)
、B(2,0)兩點,且與y軸交于點C.
(1)求該拋物線的解析式,并判斷△ABC的形狀;
(2)直接寫出不等式-x2+ax+b>0的解集;
(3)在此拋物線上是否存在點P,使得以A、C、B、P四點為頂點的四邊形是直角梯形?若存在,請求出點P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
分析:(1)∵二次函數(shù)y=-x2+ax+b的圖象經(jīng)過A(-
1
2
,0)
、B(2,0)兩點,利用待定系數(shù)法就可以直接求出a、b的值,求出拋物線的解析式.
(2)不等式-x2+ax+b>0的解集,實際上就是y=-x2+ax+b>0時x的取值范圍,利用拋物線與x軸的交點和圖象特征就可以求出.
(3)在(1)題已將證得∠ACB=90°,若A、C、B、P四點為頂點的四邊形是直角梯形,則有兩種情況需要考慮:
①以BC、AP為底,AC為高;可先求出直線BC的解析式,進(jìn)而可確定直線AP的解析式,聯(lián)立拋物線的解析式即可求出點P的坐標(biāo).
②以AC、BP為底,BC為高;方法同①.
解答:解:(1))∵二次函數(shù)y=-x2+ax+b的圖象經(jīng)過A(-
1
2
,0)
、B(2,0)兩點,由題意,得
0=-
1
4
-
1
2
a+b
0=-4+2a+b
,解得:
a=
3
2
b=1
,
∴拋物線的解析式為:y=-x2+
3
2
x+1.
∴C(0,1),
∴AC2=AO2+CO2=
5
4

CB2=BO2+CO2=5,
AB2=
25
4

∴AC2+CB2=AB2,
∴△ACB是直角三角形;

(2)由圖象得原不等式的解集為:
-
1
2
<x<2

(3)存在,點P(
5
2
,-
3
2
)或(-
5
2
,-9);
若以A、C、B、P四點為頂點的直角梯形以BC、AP為底;
∵B(2,0),C(0,1),
∴直線BC的解析式為:y=-
1
2
x+1;
設(shè)過點B且平行于AC的直線的解析式為y=-
1
2
x+h,
將點A(-
1
2
,0)代入得:(-
1
2
)×(-
1
2
)+h=0,h=-
1
4
;
∴y=-
1
2
x-
1
4
;
聯(lián)立拋物線的解析式有:
y=-
1
2
x-
1
4
y=-x2+
3
2
x+1
,
解得
x=-
1
2
y=0
,
x=
5
2
y=-
3
2

∴點P(
5
2
,-
3
2
);
若以A、C、B、P四點為頂點的直角梯形以AC、BP為底,
同理可求得P(-
5
2
,-9);
故當(dāng)P(
5
2
,-
3
2
)或(-
5
2
,-9)時,以A、C、B、P四點為頂點的四邊形是直角梯形.
(根據(jù)拋物線的對稱性求出另一個P點坐標(biāo)亦可)
點評:本題是一道二次函數(shù)的綜合試題,考查了待定系數(shù)法求拋物線的解析式,相似三角形的判定與性質(zhì),二次函數(shù)與不等式的關(guān)系,直角梯形的運用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點D(0,
7
9
3
),且頂點C的橫坐標(biāo)為4,該圖象在x軸上截得的線段AB的長為6.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)在該拋物線的對稱軸上找一點P,使PA+PD最小,求出點P的坐標(biāo);
(3)在拋物線上是否存在點Q,使△QAB與△ABC相似?如果存在,求出點Q的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,二次函數(shù)圖象的頂點為坐標(biāo)原點O,且經(jīng)過點A(3,3),一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A和點B(6,0).
(1)求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式;
(2)如果一次函數(shù)圖象與y相交于點C,點D在線段AC上,與y軸平行的直線DE與二次函數(shù)圖象相交于點E,∠CDO=∠OED,求點D的坐標(biāo).
精英家教網(wǎng)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于B、C兩點,與y軸交于點A(0,-3),∠ABC=45°,∠ACB=60°,求這個二次函數(shù)解析式.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品,年初上市后,公司經(jīng)歷了從虧損到盈利的過程,如圖的二次函數(shù)圖象(部分)刻畫了該公司年初以來累積利潤s(萬元)與時間t(月)之間的關(guān)系(即前t個月的利潤總和s與t之間的關(guān)系).根據(jù)圖象提供的信息,解答下列問題:
(1)求累積利潤s(萬元)與時間t(月)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求截止到幾月末公司累積利潤可達(dá)30萬元;
(3)從第幾個月起公司開始盈利?該月公司所獲利潤是多少萬元?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于兩個點,根據(jù)圖象回答:(1)b
0(填“>”、“<”、“=”);
(2)當(dāng)x滿足
x<-4或x>2
x<-4或x>2
時,ax2+bx+c>0;
(3)當(dāng)x滿足
x<-1
x<-1
時,ax2+bx+c的值隨x增大而減�。�

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案