Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，∠B的平分線BE與AD交于點(diǎn)E，∠BED的平分線EF與DC交于點(diǎn)F，若AB=9，DF=2FC，則BC= ． （結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

【答案】
【解析】解：延長EF和BC，交于點(diǎn)G

∵矩形ABCD中，∠B的角平分線BE與AD交于點(diǎn)E，

∴∠ABE=∠AEB=45°，

∴AB=AE=9，

∴直角三角形ABE中，BE= = ，

又∵∠BED的角平分線EF與DC交于點(diǎn)F，

∴∠BEG=∠DEF

∵AD∥BC

∴∠G=∠DEF

∴∠BEG=∠G

∴BG=BE=

由∠G=∠DEF，∠EFD=∠GFC，可得△EFD∽△GFC

∴

設(shè)CG=x，DE=2x，則AD=9+2x=BC

∵BG=BC+CG

∴ =9+2x+x

解得x=

∴BC=9+2（ ﹣3）=

故答案為：

首先延長EF和BC且延長線交于點(diǎn)G，接下來，再證明三角形ABE為等腰直角三角形，并求得其斜邊BE的長，然后再證明三角形BEG為等腰三角形，最后，根據(jù)△EFD∽△GFC得出CG與DE的倍數(shù)關(guān)系，并根據(jù)BG=BC+CG進(jìn)行計(jì)算即可.