Question

【題目】如圖，已知直線l1∥l2 ， 直線l3和直線l1、l2交于點C和D，在直線CD上有一點P．

（1）如果P點在C、D之間運動時，問∠PAC，∠APB，∠PBD有怎樣的數(shù)量關系？請說明理由．
（2）若點P在C、D兩點的外側運動時（P點與點C、D不重合），試探索∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關系又是如何？

Answer 1

【答案】
（1）解：當點P在C、D之間運動時,∠APB=∠PAC+∠PBD．理由如下：
過點P作PE∥l1,
∵l1∥l2,
∴PE∥l2∥l1,
∴∠PAC=∠1,∠PBD=∠2,
∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；
（2）解：ⅰ）當點P在C、D兩點的外側運動,且在l1上方時,∠PBD=∠PAC+∠APB．理由如下：
過點P作PE∥l1
∴∠EPA=∠PAC,
∵l1∥l2,PE∥l1
∴PE∥l2
∴∠EPB=∠PBD,
∵∠EPB=∠EPA＋∠APB =∠PAC+∠APB,
∴∠PBD=∠PAC+∠APB．
ⅱ）當點P在C、D兩點的外側運動,且在l2下方時,∠PAC=∠PBD+∠APB．理由如下：
過點P作PE∥l2;
∴∠DBP=∠BPE;
∵l1∥l2,PE∥l2;
∴PE∥l1
∴∠EPA=∠PAC,
∵∠EPA=∠EPB＋∠BPA=∠PBD+∠APB,
∴∠PAC=∠PBD+∠APB．
【解析】(1)當點P在C、D之間運動時,∠APB=∠PAC+∠PBD．理由如下： 過點P作PE∥l1,根據(jù)平行于同一直線的兩條直線互相平行得出PE∥l2∥l1,根據(jù)二直線平行內(nèi)錯角相等得出∠PAC=∠1,∠PBD=∠2,根據(jù)角的和差及等量代換得出∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；
（2）①當點P在C、D兩點的外側運動,且在l1上方時,∠PBD=∠PAC+∠APB．理由如下： 過點P作PE∥l1根據(jù)二直線平行，內(nèi)錯角相等得出 ∠EPA=∠PAC, 根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線互相平行得出 PE∥l2，根據(jù)二直線平行內(nèi)錯角相等得出∠EPB=∠PBD, ,根據(jù)角的和差，及等量代換得出 ∠EPB=∠EPA＋∠APB =∠PAC+∠APB, 從而得出結論∠PBD=∠PAC+∠APB；②當點P在C、D兩點的外側運動,且在l2下方時,∠PAC=∠PBD+∠APB．理由如下： 過點P作PE∥l2; 根據(jù)二直線平行，內(nèi)錯角相等得出∠DBP=∠BPE;根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線互相平行得出PE∥l1，根據(jù)二直線平行內(nèi)錯角相等得出∠EPA=∠PAC,根據(jù)角的和差，及等量代換得出∠EPA=∠EPB＋∠BPA=∠PBD+∠APB,從而得出結論∠PAC=∠PBD+∠APB．
【考點精析】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)的相關知識點，需要掌握由角的相等或互補（數(shù)量關系）的條件，得到兩條直線平行（位置關系）這是平行線的判定；由平行線（位置關系）得到有關角相等或互補（數(shù)量關系）的結論是平行線的性質(zhì)才能正確解答此題．