Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=2，∠ABC=30°，點(diǎn)E是射線DA上一動(dòng)點(diǎn)，把△CDE沿CE折疊，其中點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D′，若CD′垂直于菱形ABCD的邊時(shí)，則DE的長為_____．

Answer 1

【答案】或2或2﹣2或2+2．

【解析】

分情況進(jìn)行討論：

①當(dāng)D'C⊥AD時(shí)，如圖1，根據(jù)30度的余弦列式可得DE的長；

②當(dāng)CD'⊥AB時(shí)，如圖2，過E作EF⊥CD于F，設(shè)CF=EF=x，則ED=2x，DF=x，根據(jù)CD=CF+DF=2，列方程可得DE的長；

③當(dāng)CD'⊥BC時(shí)，延長D'C交AD于F，分別計(jì)算EF和DF的長，可得DE的長；

④當(dāng)D'C⊥CD時(shí)，如圖4，延長D'C交DE于F，分別計(jì)算EF和DF的長，可得DE的長．

分4種情況：

①當(dāng)D'C⊥AD時(shí)，如圖1，設(shè)DE=D'E=x，

由折疊得：CD=CD'=2，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠D=∠B=30°，

∴∠D=∠D'=30°，

Rt△CFD中，CF=CD=1，

∴D'F=CD'-CF=2-1=1，

Rt△D'FE中，cos30°=，

∴，

∴DE=D'E=；

②當(dāng)CD'⊥AB時(shí)，如圖2，過E作EF⊥CD于F，

∵AB∥CD，

∴∠B+∠BCD=180°，

∵∠B=30°，

∴∠BCD'=60°，∠DCD'=150°-60°=90°，

由折疊得∠ECD=∠DCD'=45°，

∴△ECF是等腰直角三角形，

設(shè)CF=EF=x，則ED=2x，DF=x，

∵CD=CF+DF=2，

∴x+x=2，

x=-1，

∴DE=2x=2-2；

③當(dāng)CD'⊥BC時(shí)，如圖3，延長D'C交AD于F，則D'C⊥ED，

Rt△CFD中，∠D=30°，CD=2，

∴CF=1，DF=，

Rt△D'EF中，D'F=3，∠D'=30°，

∴EF=，

∴DE=EF+DF=2；

④當(dāng)D'C⊥CD時(shí)，如圖4，延長D'C交DE于F，

∵∠DCD'=90°，

∴∠FCD=90°，

∵CD=2，∠FDC=30°，

∴CF=，DF=2FC=，

由折疊得：∠ECD=∠ECD'==135°，

∴∠DEC=∠D'EC=15°，

∴∠FEB=∠FD'E=30°，

∴EF=D'F=+2，

∴DE=EF+DF=2+2，

綜上所述，DE的長為或2或2-2或2+2．

故答案為或2或2-2或2+2．