Question

如圖，兩個(gè)同心圓的圓心是O，AB是大圓的直徑，大圓的弦與小圓相切于點(diǎn)D，連接OD并延長交大圓于點(diǎn)E，連接BE交AC于點(diǎn)F，已知AC=，大、小兩圓半徑差為2．
（1）求大圓半徑長；
（2）求線段BF的長；
（3）求證：EC與過B、F、C三點(diǎn)的圓相切．

Answer 1

解：（1）∵AD是小圓的切線，D為切點(diǎn)，
∴OD⊥AD，
在Rt△AOD中，AD=AC=2，OD=OE-2=OA-2，
∴OA²=AD²+OD²=+（OA-2）²，
解關(guān)于OA的方程得：OA=3．
所以大圓的半徑為3．

（2）連接BC，AE，∵OD⊥AC，
∴=，
∴∠ACE=∠EBC，
又∵∠BEC=∠CEF，
∴△EBC∽△ECF，
∴EC²=EF•EB．
在Rt△CDE中，CD=AC=2，DE=2，
∴EC²==12=AE²．
∵AB是直徑，
∴∠AEB=90°．
∴BE²=AB²-AE²=36-12=24，
∴BE=2．
∵EC²=BE•EF，
∴12=2（2-BF），
解得：BF=．

（3）證明：如圖：設(shè)過B，F(xiàn)，C三點(diǎn)的圓的圓心為O′，
∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴BF是⊙O′的直徑，
連接BC，O′C，則∠O′FC=∠O′CF
又∵∠CBF=∠FCE，∴∠O′CE=∠O′CF+∠FCE=∠O′FC+∠CBF=90°
∴O^′C⊥EC．
故EC是⊙O^′的切線．
分析：（1）根據(jù)題意可以知道，△AOD是直角三角形，AD=2，OD=OE-2=OA-2．然后利用勾股定理可以求出大圓的半徑．（2）根據(jù)垂徑定理得到AE=CE，=，用相等的弧所對的圓周角相等，證明兩個(gè)三角形相似，得到對應(yīng)線段的關(guān)系，結(jié)合勾股定理計(jì)算，求出BF的長．（3）利用第（2）題中的結(jié)論和直徑所對的圓周角是直角，以及等邊對等角，證明∠O^′CE是直角，得到EC是⊙O^′的切線．
點(diǎn)評：本題考查的是垂徑定理，（1）題根據(jù)垂徑定理，構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理計(jì)算大圓的半徑．（2）題根據(jù)垂徑定理得到EC的長，然后由勾股定理計(jì)算BE的長，由三角形相似得到對應(yīng)線段的關(guān)系，求出BF的長．（3）題根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，以及（2）題中兩三角形相似，對應(yīng)的角相等，用等量代換，得到∠O^′CE是直角，證明CE是⊙O^′的切線．