Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c分別交x軸于A（4，0）、B（﹣1，0），交y軸于點(diǎn)C（0，﹣3），過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)y=﹣ x+3交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)D．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P位x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在線(xiàn)段AC上，且Q到x軸的距離為 ，連接PC、PQ，當(dāng)△PCQ的周長(zhǎng)最小時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，在（2）的結(jié)論下，連接PD，在平面內(nèi)是否存在△A1P1D1 ， 使△A1P1D1≌△APD（點(diǎn)A1、P1、D1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是A、P、D，A1P1平行于y軸，點(diǎn)P1在點(diǎn)A1上方），且△A1P1D1的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線(xiàn)上？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)m，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A（4，0）和B（﹣1，0），

設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a（x﹣4）（x+1），

把C（0，﹣3）代入y=a（x﹣4）（x+1），

∴﹣3=﹣4a，

∴a= ，

∴拋物線(xiàn)的解析式為y= （x﹣4）（x+1）= x2﹣ x﹣3，

聯(lián)立 ，

解得：x=﹣2或x=4（舍去），

把x=﹣2代入y=﹣ x+3，

y= ，

∴D的坐標(biāo)為（﹣2， ）；

（2）

解：要使△PCQ的周長(zhǎng)最小，

即只需要PC+PQ最小，

由題意知：Q到x軸的距離為 ，

即點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為﹣ ，

設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y=k1x+b1，

把A（4，0）和C（0，﹣3）代入y=k1x+b1，

∴ ，

解得： ，

∴直線(xiàn)AC的解析式為y= x﹣3，

把y=﹣ 代入y= x﹣3，

∴x= ，

∴Q的坐標(biāo)為（ ，﹣ ），

設(shè)C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為E，如圖1，

∴E的坐標(biāo)為（0，3），

設(shè)直線(xiàn)EQ的解析式為y=k2x+b2，

把Q（ ，﹣ ）和E（0，3）代入y=k2x+b2，

∴ ，

∴ ，

∴直線(xiàn)EQ的解析式為y=﹣3x+3，

令y=0代入y=﹣3x+3，

∴x=1，

∴P的坐標(biāo)為（1，0）時(shí)，△PCQ的周長(zhǎng)最小；

（3）

解：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，

過(guò)點(diǎn)D1作D1F1⊥A1P1，交A1P1的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F1，

∵△A1P1D1≌△APD，

∴AF=A1F1=6，PF=P1F1=3，DF= ，

當(dāng)A1與P1在拋物線(xiàn)上時(shí)，

∵A1P1∥y軸，

∴此情況不存在；

當(dāng)P1與D1在拋物線(xiàn)上時(shí)，

∵A1的橫坐標(biāo)為m，

∴P1的坐標(biāo)為（m， m2﹣ m﹣3），

若點(diǎn)D1在直線(xiàn)A1P1的右側(cè)時(shí)，如圖2，

此時(shí)D的橫坐標(biāo)為m+ ，

把x=m+ 代入y= x2﹣ x﹣3，

∴D1的坐標(biāo)為（m+ ， m2+ m+ ），

∴F1的坐標(biāo)為（m， m2+ m+ ），

∴P1F1=（ m2+ m+ ）﹣（ m2﹣ m﹣3）

= m+ ，

∴ m+ =3，

∴m=﹣ ，

若點(diǎn)D1在直線(xiàn)A1P1的左側(cè)時(shí)，如圖3，

此時(shí)D的橫坐標(biāo)為m﹣ ，

把x=m﹣ 代入y= x2﹣ x﹣3，

∴D1的坐標(biāo)為（m+ ， m2﹣9m+ ），

∴F1的坐標(biāo)為（m， m2﹣9m+ ），

∴P1F1=（ m2﹣9m+ ）﹣（ m2﹣ m﹣3）

=﹣ m+ =3，

∴m= ，

當(dāng)A1與D1在拋物線(xiàn)上時(shí)，

∵A1的橫坐標(biāo)為m，

∴A1的坐標(biāo)為（m， m2﹣ m﹣3），

若點(diǎn)D1在直線(xiàn)A1P1的右側(cè)時(shí)，如圖2，

此時(shí)D的橫坐標(biāo)為m+ ，

把x=m+ 代入y= x2﹣ x﹣3，

∴D1的坐標(biāo)為（m+ ， m2+ m+ ），

∴F1的坐標(biāo)為（m， m2+ m+ ），

∴A1F1=（ m2+ m+ ）﹣（ m2﹣ m﹣3）

= m+ ，

∴ m+ =6，

∴m= ，

若點(diǎn)D1在直線(xiàn)A1P1的左側(cè)時(shí)，如圖3，

此時(shí)D的橫坐標(biāo)為m﹣ ，

把x=m﹣ 代入y= x2﹣ x﹣3，

∴D1的坐標(biāo)為（m+ ， m2﹣9m+ ），

∴F1的坐標(biāo)為（m， m2﹣9m+ ），

∴A1F1=（ m2﹣9m+ ）﹣（ m2﹣ m﹣3）

=﹣ m+ =6，

∴m=﹣ ，

綜上所述，當(dāng)m=﹣ 、 、 、﹣ 時(shí)，能滿(mǎn)足題意．

【解析】（1）已知拋物線(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為（4，0）和（﹣1，0），所以可設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a（x﹣4）（x+1），然后把（0，3）代入解析式即可求出拋物線(xiàn)的解析式，聯(lián)立直線(xiàn)解析式和拋物線(xiàn)解析式即可求出D的坐標(biāo)；（2）要求△PCQ的最小值，由于點(diǎn)Q是固定點(diǎn)，所以CQ是固定不變的，所以還需要求出PC+PQ最短即可，作出點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接EQ后與x軸交于點(diǎn)P，此時(shí)P點(diǎn)能夠使得PC+PQ最短；（3）由題意畫(huà)出圖形可知，點(diǎn)D1的位置有兩種情況，一種是D1在直線(xiàn)A1P1的左邊，另一種是D1在直線(xiàn)A1P1的右邊，另外△A1P1D1的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線(xiàn)上有三種情況，一是A1與P1在拋物線(xiàn)上，二是P1與D1在拋物線(xiàn)上，三是A1與D1在拋物線(xiàn)上，然后根據(jù)題意用含m的式子表示A1、P1、D1的坐標(biāo)出來(lái)，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可求出m的值．
【考點(diǎn)精析】利用拋物線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．