Question

如圖，已知拋物線經(jīng)過原點O和x軸上另一點A，它的對稱軸x＝2與x軸交于點C，直線y＝－2x－1經(jīng)過拋物線上一點B(－2，m)，且與y軸、直線x＝2分別交于點D、E．

(1)求m的值及該拋物線對應的函數(shù)關(guān)系式；

(2)求證：①CB＝CE；②D是BE的中點；

(3)若P(x，y)是該拋物線上的一個動點，是否存在這樣的點P，使得PB＝PE，若存在，試求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵點B(－2，m)在直線y＝－2x－1上， 　　∴m＝－2×(－2)－1＝3　　(2分) 　　∴B(－2，3) 　　∵拋物線經(jīng)過原點O和點A，對稱軸為x＝2， 　　∴點A的坐標為(4，0) 　　設所求的拋物線對應函數(shù)關(guān)系式為y＝a(x－0)(x－4)　　(3分) 　　將點B(－2，3)代入上式，得3＝a(－2－0)(－2－4)，∴． 　　∴所求的拋物線對應的函數(shù)關(guān)系式為，即　　(6分) 　　(2)①直線y＝－2x－1與y軸、直線x＝2的交點坐標分別為D(0，－1)E(2，－5)． 　　過點B作BG∥x軸，與y軸交于F、直線x＝2交于G， 　　則BG⊥直線x＝2，BG＝4． 　　在Rt△BGC中，BC＝． 　　∵CE＝5， 　　∴CB＝CE＝5　　(9分) 　�、谶^點E作EH∥x軸，交y軸于H， 　　則點H的坐標為H(0，－5)． 　　又點F、D的坐標為F(0，3)、D(0，－1)， 　　∴FD＝DH＝4，BF＝EH＝2，∠BFD＝∠EHD＝90°． 　　∴△DFB≌△DHE(SAS)， 　　∴BD＝DE． 　　即D是BE的中點　　(11分) 　　(3)存在　　(12分) 　　由于PB＝PE，∴點P在直線CD上， 　　∴符合條件的點P是直線CD與該拋物線的交點． 　　設直線CD對應的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b． 　　將D(0，－1)C(2，0)代入，得．解得． 　　∴直線CD對應的函數(shù)關(guān)系式為y＝x－1． 　　∵動點P的坐標為(x，)， 　　∴x－1＝　　(13分) 　　解得，．∴，． 　　∴符合條件的點P的坐標為(，)或(，)　　(14分) 　　(注：用其它方法求解參照以上標準給分．)