Question

【題目】已知二次函數(shù)y＝－x2＋ax＋b的圖象與y軸交于點(diǎn)A(0，－2)，與x軸交于點(diǎn)B(1，0)和點(diǎn)C，D(m，0)(m＞2)是x軸上一點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)點(diǎn)E是第四象限內(nèi)的一點(diǎn)，若以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的Rt△CDE與以A，O，B為頂點(diǎn)的三角形相似，求點(diǎn)E坐標(biāo)(用含m的代數(shù)式表示)；

(3)在(2)的條件下，拋物線上是否存在一點(diǎn)F，使得四邊形BCEF為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）存在，

【解析】試題分析：（1）將點(diǎn)A（1，0），B（2，0），C（0，-2）代入二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，列方程組求a、b、c即可；
（2）因?yàn)?/span>D、O分別為兩個(gè)直角三角形的頂點(diǎn)，可分為△EDB∽△AOC，△BDE∽△AOC兩種情況，利用相似比求ED，確定E點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）假設(shè)拋物線上存在一點(diǎn)F，使得四邊形ABEF為平行四邊形，EF=AB=1，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為m-1，分為①當(dāng)點(diǎn)E1的坐標(biāo)為（m， ）時(shí)，點(diǎn)F1的坐標(biāo)為（m-1， ），②當(dāng)點(diǎn)E2的坐標(biāo)為（m，4-2m）時(shí)，點(diǎn)F2的坐標(biāo)為（m-1，4-2m），兩種情況，分別代入拋物線解析式求m的值，確定F點(diǎn)的坐標(biāo)．

試題解析：(1)根據(jù)題意，得，解得，a＝3，b＝－2

．

（2）當(dāng)y＝0時(shí)，有－x2＋3x－2＝0，解得，x1＝1，x2＝2，∴OC＝2.

由題意得AO＝2，BO＝1，CD＝m－2.

△CDE∽△AOC當(dāng)時(shí)，得AO∶CD＝BO∶DE，

∴　2∶(m－2)＝1∶DE.　∴DE＝.

∵點(diǎn)在第四象限，∴E1（m， ）．

當(dāng)△DEC∽△AOC當(dāng)時(shí)，得AO∶ED＝BO∶CD，

∴2∶DE＝1∶(m－2).　∴DE＝2m－4.

∵點(diǎn)在第四象限，∴E2（m，4-2m）.

（3）假設(shè)拋物線上存在一點(diǎn)F，使得四邊形BCEF為平行四邊形，則EF＝BC＝1，

點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為m－1，

當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為

∵點(diǎn)在拋物線的圖象上，

∴，

∴，

∴，

∴（舍去），

∴.

當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

∵點(diǎn)在拋物線的圖象上，

∴，

∴，

∴，∴（舍去），，

∴，

∴使得四邊形BCEF為平行四邊形的點(diǎn)F的坐標(biāo)為 或.