Question

【題目】在數(shù)軸上，把表示數(shù)1的點(diǎn)稱為基準(zhǔn)點(diǎn)，記作點(diǎn). 對(duì)于兩個(gè)不同的M和N，若點(diǎn)M、點(diǎn)N到點(diǎn)的距離相等，則稱點(diǎn)M與點(diǎn)N互為基準(zhǔn)變換點(diǎn). 例如：圖中，點(diǎn)M表示數(shù)，點(diǎn)N表示數(shù)3，它們與基準(zhǔn)點(diǎn)的距離都是2個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)M與點(diǎn)N互為基準(zhǔn)變換點(diǎn).

（1）已知點(diǎn)A表示數(shù)a，點(diǎn)B表示數(shù)b，點(diǎn)A與點(diǎn)B互為基準(zhǔn)變換點(diǎn).

① 若a=0，則b= ；若，則b= ；

② 用含a的式子表示b，則b= ；

（2）對(duì)點(diǎn)A進(jìn)行如下操作：先把點(diǎn)A表示的數(shù)乘以，再把所得數(shù)表示的點(diǎn)沿著數(shù)軸向左移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)B. 若點(diǎn)A與點(diǎn)B互為基準(zhǔn)變換點(diǎn)，則點(diǎn)A表示的數(shù)是 ；

（3）點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左邊，點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離為8個(gè)單位長(zhǎng)度．對(duì)P、Q兩點(diǎn)做如下操作：點(diǎn)P沿?cái)?shù)軸向右移動(dòng)k（k>0）個(gè)單位長(zhǎng)度得到， 為的基準(zhǔn)變換點(diǎn)，點(diǎn)沿?cái)?shù)軸向右移動(dòng)k個(gè)單位長(zhǎng)度得到， 為的基準(zhǔn)變換點(diǎn)，……,依此順序不斷地重復(fù)，得到， ，…， . 為Q的基準(zhǔn)變換點(diǎn),將數(shù)軸沿原點(diǎn)對(duì)折后的落點(diǎn)為， 為的基準(zhǔn)變換點(diǎn), 將數(shù)軸沿原點(diǎn)對(duì)折后的落點(diǎn)為，……，依此順序不斷地重復(fù)，得到， ，…， .若無論k為何值， 與兩點(diǎn)間的距離都是4，則n= .

Answer 1

【答案】（1）①2，-2；②；（2）；（3）4或12.

【解析】（1）①根據(jù)互為基準(zhǔn)變換點(diǎn)的定義可得出a+b=2，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論；②根據(jù)a+b=2，變換后即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)點(diǎn)A表示的數(shù)為x，根據(jù)點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)找出點(diǎn)B，結(jié)合互為基準(zhǔn)變換點(diǎn)的定義即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；

（3）根據(jù)點(diǎn)Pn與點(diǎn)Qn的變化找出變化規(guī)律“P4n=m、Q4n=m+8-4n”，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可得出關(guān)于n的含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．

解：(1)①∵點(diǎn)A表示數(shù)a，點(diǎn)B表示數(shù)b，點(diǎn)A與點(diǎn)B互為基準(zhǔn)變換點(diǎn)，

∵a+b=2.

當(dāng)a=0時(shí)，b=2；當(dāng)a=4時(shí)，b=2.

故答案為：2；2.

②∵a+b=2，

∴b=2a.

故答案為：2a.

(2)設(shè)點(diǎn)A表示的數(shù)為x，

根據(jù)題意得： x3+x=2，

解得：x=.

故答案為： .

(3)設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為m，則點(diǎn)Q表示的數(shù)為m+8，

由題意可知：P1表示的數(shù)為m+k,P2表示的數(shù)為2(m+k),P3表示的數(shù)為2m,P4表示的數(shù)為m,P5表示的數(shù)為m+k，…，

Q1表示的數(shù)為m6,Q2表示的數(shù)為m+6,Q3表示的數(shù)為m4,Q4表示的數(shù)為m+4,Q5表示的數(shù)為m2,Q6表示的數(shù)為m+2，…，

∴P4n=m,Q4n=m+84n.

令|m(m+84n)|=4，即|84n|=4，

解得：4n=4或4n=12.

故答案為：4或12.