Question

【題目】如圖，以的直角邊為直徑的半圓與斜邊交于點，是邊的中點，連接．

求證：是半圓的切線；

若、的長是方程的個根，求直角邊的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）連OD，OE，由E是BC邊上的中點，得到OE是△ABC的中位線，則OE∥AC，所以有∠1=∠3，∠2=∠A，而∠A=∠3，因此得到∠1=∠2，再證明△OED≌△OEB，于是∠OED=∠OBE=90°；

（2）首先解方程x2﹣10x+24=0，從而求出AD、AB的長，再證明△ABC∽△ADB，得出，即可求出答案．

（1）連OD，OE，如圖，∵E是BC邊上的中點，AB是半圓O的直徑，∴OE是△ABC的中位線，∴OE∥AC，∴∠1=∠3，∠2=∠A．

∵OD=OA，∴∠A=∠3，∴∠1=∠2．

又∵OD=OB，OE=OE，∴△OED≌△OEB，∴∠ODE=∠OBE=90°，∴DE與半圓O相切．

（2）連接BD．

∵AD、AB的長是方程x2﹣10x+24=0的個根，AB為圓的直徑，∴AD=4，AB=6．

∵AB為直徑，∴∠ADB=∠ABC=90°．

∵∠CAB=∠CAB，∴△ABC∽△ADB，∴，∴，∴AC=9，∴BC=3．