Question

【題目】（1）如圖1，有一塊直角三角板XYZ（其中∠X=90°）放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的兩條直角邊XY，XZ分別經過B，C兩點，且直角頂點X在△ABC內部．

①若∠A=40°，∠ABC+∠ACB= °；∠XBC+∠XCB= °；

②試判斷∠A與∠XBA+∠XCA之間存在怎樣數量關系？并寫出證明過程．

（2）如圖2，如果直角頂點X在△ABC外部，試判斷∠A、∠XBA、∠XCA之間又存在怎樣的數量關系？（只寫出答案，無需證明）．

Answer 1

【答案】（1）①140，90；②∠A+∠XBA+∠XCA=90°，證明見解析；（2）∠A+（∠XBA－∠XCA）=90°

【解析】試題分析：（1）①根據三角形內角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=140°，∠XBC+∠XCB=180°﹣∠XBC=90°，進而可求出∠ABX+∠ACX的度數；

②根據三角形內角和定義有90°+（∠ABX+∠ACX）+∠A=180°，則可得出結論．

（2）由②的解題思路可得：∠A+（∠XBA－∠XCA）=90°．

（1）①若∠A=40°，∠ABC+∠ACB= 140 °；

∠XBC+∠XCB= 90 °；

②∠A+∠XBA+∠XCA=90°（或等式的變形也可以）

證明：∵∠X=90°

∴∠XBC+∠XCB=180°－∠X=90°

∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∴∠A+（∠XBA+∠XCA）+（∠XBC+∠XCB）=180°，

∴∠A+（∠XBA+∠XCA）=180°－90°=90°，

∴∠A=90°－（∠XBA+∠XCA）

（2） ∠A+（∠XBA－∠XCA） =90°．