Question

【題目】已知正方形ABCD，一等腰直角三角板的一個銳角頂點與A重合，將此三角板繞A點旋轉時，兩邊分別交直線BC、CD于M、N．

（1）當M、N分別在邊BC、CD上時（如圖1），求證：BM+DN=MN；

（2）當M、N分別在邊BC、CD所在的直線上時（如圖2），線段BM、DN、MN之間又有怎樣的數量關系，請直接寫出結論　 　；（不用證明）

（3）當M、N分別在邊BC、CD所在的直線上時（如圖3），線段BM、DN、MN之間又有怎樣的數量關系，請寫出結論并寫出證明過程．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BM﹣DN=MN；（3）DN﹣BM=MN；證明見解析；

【解析】

（1）延長CB到G使BG=DN，由AB=AD，GB=DN，∠AGB=∠ADN=90°，可證明△AGB≌△AND，進而可知AG=AN，∠GAB=∠DAN，由∠MAN=45°，BAD=90°

可知∠GAM=45°，進而證明△AMN≌△AMG，根據MN=GM=BM+GB=MB+DN即可得答案.（2）BM﹣DN=MN；（3）在ND上截取DG=BM，可證明△ADG≌△ABM，進而可知AG=AM，∠MAB=∠DAG， 根據∠MAN=45°，∠BAD=90°，可證明△AMG為等腰直角三角形，可知AN為MG的垂直平分線，進而可知NM=NG，即可證明DN﹣BM=MN.

（1）延長CB到G使BG=DN，

∵AB=AD，GB=DN，∠AGB=∠ADN=90°，

∴△AGB≌△AND，

∴AG=AN ，∠GAB=∠DAN，

∵∠MAN=45°，∠BAD=90°，

∴∠GAM=∠GAB+∠BAM=∠DAN+∠BAM=45°，

∴∠GAM=∠NAM，而AM是公共邊，

∴△AMN≌△AMG，

∴MN=GM=BM+GB=MB+DN；

（2）BM﹣DN=MN；

（3）DN﹣BM=MN．如圖3，

在ND上截取DG=BM，

∵AD=AB，∠ABM=∠ADN=90°，

∴△ADG≌△ABM，

∴AG=AM，∠MAB=∠DAG，

∵∠MAN=45°，∠BAD=90°，

∴∠MAG=90°，△AMG為等腰直角三角形，

∴AN垂直MG，

∴AN為MG垂直平分線，

所以NM=NG．

∴DN﹣BM=MN.