Question

如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，
（1）求點A，B的坐標；
（2）判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論；
（3）點M（m，0）是OB上的一個動點，直線ME⊥x軸，交BC于E，交拋物線于點F，求當EF的值最大時m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可得到A、B的坐標；
（2）根據(jù)拋物線解析式求出點C的坐標，再根據(jù)勾股定理求出AC、BC的長，然后利用勾股定理逆定理解答；
（3）利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，然后表示出EF的長，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答．
解答：解：（1）令y=0，則-x-4=0，
整理得，x²-6x-16=0，
解得x₁=-2，x₂=8，
所以，點A（-2，0），B（8，0）；

（2）△ABC是直角三角形．
理由如下：x=0時，y=-4，
所以，點C（0，-4），
根據(jù)勾股定理，AC²=OA²+OC²=2²+4²=20，
BC²=OB²+OC²=8²+4²=80，
∴AC²+BC²=20+80=100，
∵AB²=（8+2）²=100，
∴AB²=AC²+BC²，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形；

（3）設直線BC的解析式為y=kx+b，
∵點B（8，0），C（0，-4），
∴，
解得，
所以，直線BC的解析式為y=x-4，
∵點M（m，0），
∴EF=m-4-（-m-4）=-+2m=-（m-4）²+4，
∴當m=4時，EF的值最大，為4．
點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了拋物線與x軸的交點的求解，勾股定理以及勾股定理逆定理的應用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問題，綜合題，但難度不大，（3）用m表示出EF的長度是解題的關(guān)鍵．