Question

【題目】已知：正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為4，將該正方形紙片沿EF折疊（E，F(xiàn)分別在AB，CD邊上），使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)M處，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD交于點(diǎn)P．

（1）如圖①，連接PE，若M是AD邊的中點(diǎn)．
①寫出圖中與△PMD相似的三角形．
②求△PMD的周長(zhǎng)．
（2）如圖②，隨著落點(diǎn)M在AD邊上移動(dòng)（點(diǎn)M不與A、D重合），△PDM的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明你的理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①依據(jù)翻折的性質(zhì)可知∠EMP=∠B=90°，∠C=∠N=90°

∴∠AME+∠PMD=90°．

又∵∠AME+∠AEM=90°，

∴∠AEM=∠PMD．

又∵∠A=∠D，

∴△AME∽△DPM．

∵∠MPD=∠FPN，∠D=∠N=90°

∴△MPD∽△FPN．

∵△AME∽△DPM，

∴ ．

又∵AM=MD，

∴ ．

又∵∠EMP=∠D=90°，

∴△EMP∽△MDP．

所以有：△AME∽△DPM，△AME∽△DPM，△EMP∽△MDP．

②∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=AB=4．

∵點(diǎn)M是AD邊中點(diǎn)，

∴AM=DM=2．

由折疊的性質(zhì)得：ME=BE，

∴△MEA的周長(zhǎng)為6．

在Rt△MEA中，設(shè)AE=x，則ME=4﹣x．

∴x2+22=（4﹣x）2，解得：x= ．

∵△PMD∽△MEA，

∴ = = ，即 ．

∴△PMD的周長(zhǎng)為8

（2）

解：△PMD的周長(zhǎng)不變．

設(shè)AM=m，AE=n，則DM=4﹣m，EM=4﹣n，△AEM的周長(zhǎng)=4+m．

在Rt△AME中，依據(jù)勾股定理可知：m2+n2=（4﹣n）2，即8n=16﹣m2．

∵△PMD∽△MEA，

∴ = ．

∴△PMD的周長(zhǎng)= = = =8

【解析】（1）①依據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似可證明△AEM∽△DMP，△PFN∽△PMD，然后依據(jù)兩組邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似證明△EMP∽△MDP即可；②設(shè)AE=x，則EM=4﹣x，在Rt△AEM中，依據(jù)勾股定理可求得x的值，然后可求得△AEM的周長(zhǎng)，然后依據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比求解即可；（2）設(shè)AM=m，AE=n，則DM=4﹣m，EM=4﹣n．在Rt△AEM中，依據(jù)勾股定理和完全平方公式可得到8n=16﹣m2 ， 然后可△PMD∽△MEA可求得△PMD的周長(zhǎng)．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用翻折變換（折疊問題）和相似三角形的應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和角相等；測(cè)高：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例”的原理解決；測(cè)距：測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例，常構(gòu)造相似三角形求解．