【題目】如圖,畫(huà)∠AOB=90°,并畫(huà)∠AOB的平分線(xiàn)OC.
(1)將三角尺的直角頂點(diǎn)落在OC的任意一點(diǎn)P上,使三角尺的兩條直角邊與∠AOB的兩邊分別垂直,垂足為E、F(如圖1).則PE_____PF(填“>”、“<”、“=”)
(2)把三角尺繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)(如圖2),PE與PF相等嗎?試猜想PE、PF的大小關(guān)系,并說(shuō)明理由.
(3)在(2)的條件下,過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)GH⊥OC,分別交OA、OB于點(diǎn)G、H,如圖3 .
①圖中全等三角形有___________對(duì)(不添加輔助線(xiàn))
②猜想GE2、FH2、EF2之間的關(guān)系,并證明你的猜想.
【答案】(1)=;(2)3;(3)GE2+FH2=EF2.
【解析】
(1)根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理證明;
(2)證明△MPE≌△NPF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論;
(3)①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到OP=PG=PH,證明△GPE≌△OPF(ASA),△EPO≌△FPH,△GPO≌△OPH,得到答案; ②根據(jù)勾股定理,全等三角形的性質(zhì)解答.
解:(1)∵OC平分∠AOB,PE⊥OA,PF⊥OB,
∴PE=PF,
故答案為:=;
(2)PE=PF,
理由如下:∵∠MPN=90°,∠EPF=90°,
∴∠MPE=∠NPF,
由(1)得,PM=PN,
在△MPE和△NPF中,
∠MPE=∠NPF, PM=PN, ∠PME=∠PNF ,
∴△MPE≌△NPF(ASA),
∴PE=PF;
(3)①∵OC平分∠AOB,
∴∠AOC=∠BOC=45°,
∵GH⊥OC,
∴∠OGH=∠OHG=45°,
∴OP=PG=PH,
∵∠GPO=90°,∠EPF=90°,
∴∠GPE=∠OPF,
在△GPE和△OPF中,
∠PGE=∠POF, PG=PO, ∠GPE=∠OPF,
∴△GPE≌△OPF(ASA),
同理,△EPO≌△FPH,△GPO≌△OPH,
故答案為:3;
②GE2+FH2=EF2,
理由如下:
∵△GPE≌△OPF,
∴GE=OF,
∵△EPO≌△FPH,
∴FH=OE,
在Rt△EOF中,OF2+OE2=EF2,
∴GE2+FH2=EF2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在濟(jì)南市開(kāi)展的“美麗泉城,創(chuàng)衛(wèi)我同行”活動(dòng)中,某校倡議七年級(jí)學(xué)生利用雙休日在各自社區(qū)參加義務(wù)勞動(dòng).為了解同學(xué)們勞動(dòng)情況,學(xué)校隨機(jī)調(diào)查了部分同學(xué)的勞動(dòng)時(shí)間,并用得到的數(shù)據(jù)繪制成不完整的統(tǒng)計(jì)圖表,如圖所示:
勞動(dòng)時(shí)間(時(shí)) | 頻數(shù)(人數(shù)) | 頻率 |
0.5 | 12 | 0.12 |
1 | 30 | 0.3 |
1.5 | x | 0.4 |
2 | 18 | y |
合計(jì) | m | 1 |
(1)統(tǒng)計(jì)表中的x= ,y= ;
(2)被調(diào)查同學(xué)勞動(dòng)時(shí)間的中位數(shù)是 時(shí);
(3)請(qǐng)將頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整;
(4)求所有被調(diào)查同學(xué)的平均勞動(dòng)時(shí)間.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,D是BC的中點(diǎn),過(guò)D點(diǎn)的直線(xiàn)GF交AC于F,交AC的平行線(xiàn)BG于G點(diǎn),DE⊥DF,交AB于點(diǎn)E,連結(jié)EG、EF.
(1)求證:BG=CF.
(2)請(qǐng)你判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,CE為三角形的角平分線(xiàn),AD⊥CE于點(diǎn)F交BC于點(diǎn)D
(1) 若∠BAC=96°,∠B=28°,直接寫(xiě)出∠BAD=__________°
(2) 若∠ACB=2∠B
① 求證:AB=2CF
② 若EF=2,CF=5,直接寫(xiě)出=__________
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中,給出了格點(diǎn)△ABC和△DEF(頂點(diǎn)為網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn)),以及過(guò)格點(diǎn)的直線(xiàn)l.
(1)將△ABC向右平移兩個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移兩個(gè)單位長(zhǎng)度,畫(huà)出平移后的三角形.
(2)畫(huà)出△DEF關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)的三角形.
(3)填空:∠C+∠E= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小李從西安通過(guò)某快遞公司給在南昌的外婆寄一盒櫻桃,快遞時(shí),他了解到這個(gè)公司除收取每次6元的包裝費(fèi)外,櫻桃不超過(guò)1kg收費(fèi)22元,超過(guò)1kg,則超出部分按每千克10元加收費(fèi)用.設(shè)該公司從西安到南昌快遞櫻桃的費(fèi)用為y(元),所寄櫻桃為x(kg).
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)已知小李給外婆快寄了2.5kg櫻桃,請(qǐng)你求出這次快寄的費(fèi)用是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)B在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng),當(dāng)線(xiàn)段AB最短時(shí),點(diǎn)B的坐標(biāo)為( )
A. (0,0) B. (,) C. (,) D. (,)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,如圖,△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D是BC邊上的中點(diǎn),E、F分別是AB、AC上的點(diǎn),且∠EDF=90°,求證:BE=AF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】以邊長(zhǎng)為2的正方形的中心O為端點(diǎn),引兩條相互垂直的射線(xiàn),分別與正方形的邊交于A、B兩點(diǎn),則線(xiàn)段AB的最小值是 .
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