Question

【題目】如圖,已知正方形ABCD邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)E在AB邊上且BE=1,點(diǎn)P,Q分別是邊BC,CD的動(dòng)點(diǎn)(均不與頂點(diǎn)重合)，當(dāng)四邊形AEPQ的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，四邊形AEPQ的面積是___.

Answer 1

【答案】

【解析】

根據(jù)最短路徑的求法，先確定點(diǎn)E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)E′，再確定點(diǎn)A關(guān)于DC的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′E′即可得出P，Q的位置；再根據(jù)相似得出相應(yīng)的線段長(zhǎng)從而可求得四邊形AEPQ的面積．

如圖所示：

作E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)E′,點(diǎn)A關(guān)于DC的對(duì)稱點(diǎn)A′,連接A′E′，四邊形AEPQ的周長(zhǎng)最小，

∵AD=A′D=3,BE=BE′=1，

∴AA′=6,AE′=4.

∵DQ∥AE′,D是AA′的中點(diǎn)，

∴DQ是△AA′E′的中位線，

∴DQ=AE′=2；CQ=DCCQ=32=1，

∵BP∥AA′，

∴△BE′P∽△AE′A′，

∴，

即 ，

解得：BP=1.5，

∴CP=BCBP=31.5=1.5，

S四邊形AEPQ=S正方形ABCDS△ADQS△PCQS△BEP=9ADDQCQCPBEBP=

=9 ×3×2×1××1× =，

故答案為：.