Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)A（-2，0），B（8，0），連接AC，BC．

（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)D是直線BC上方拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，求線段DE的長度最大時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）拋物線上是否存在一點(diǎn)P（異于點(diǎn)A，B，C），使？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）存在點(diǎn)，使，點(diǎn)的坐標(biāo)為或

【解析】

（1）把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，解方程組即可得到拋物線的解析式，令x=0求出y的值，即可得到C的坐標(biāo)；

（2）如圖，過點(diǎn)D作DF//y軸，交BC于F點(diǎn)，則∠DFE=∠BCO，由勾股定理，得到BC的長，由正弦的定義得到DE=DFsin∠DFE=DFsin∠BCO=DF．

求出直線BC的解析式．設(shè)，則，得到DF，由DE=DF，配方即可得出結(jié)論；

（3）如圖，連接PC，PB，PA交OC于M，作PN⊥x軸于N交CB于F．設(shè)P（m，），則F（m，），分兩種情況討論：①若P在x軸上方，表示出PF的長，得到=．由相似三角形的判定與性質(zhì)得到AO：AN=OM：PN，進(jìn)而得出OM，CM的長，得到=．由，解方程即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

②當(dāng)P在x軸下方時(shí)，類似可得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（1）把A（-2，0），B（8，0）分別代入y=ax2+bx+4中，得：，解得：，∴拋物線的解析式為；

令x=0，得y=4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4）．

（2）如圖，過點(diǎn)D作DF//y軸，交BC于F點(diǎn)，則∠DFE=∠BCO，C（0，4），B（8，0），∴OC=4，OB=8．

在RtΔOBC中，由勾股定理，得：BC= ，∴sin∠BCO=，∴在RtΔDEF中，DE=DFsin∠DFE=DFsin∠BCO=DF．

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+t，把B（8，0），C（0，4）分別代入，得：，解得：，∴直線BC的解析式為；

設(shè)，則，∴DF=，∴DE=DF

∵，∴當(dāng)m=4時(shí)，DE的值最大，最大值為，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，6）．

（3）如圖，連接PC，PB，PA交OC于M，作PN⊥x軸于N交CB于F．設(shè)P（m，），則F（m，），分兩種情況討論：①若P在x軸上方，∴PF=，==．

∵AO=2，ON=m，∴AN=m+2．

∵MO∥PN，∴△AOM∽△ANP，∴AO：AN=OM：PN，∴2：（m+2）=OM：，∴OM=，∴CM=CO－OM==，∴==．

∵，∴．

∵m≠0，∴m=6．當(dāng)m=6時(shí)，=4，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，4）．

②當(dāng)P在x軸下方時(shí)，類似可得：．

∵m≠0，∴m=．當(dāng)m=時(shí)，=；∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．

綜上所述：存在點(diǎn)P，使，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，4）或．