Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，且AB =6，C是⊙O上一點(diǎn)，D是的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作⊙O的切線，與AB、AC的延長線分別交于點(diǎn)E、F，連接AD.

(l)求證：AF⊥EF;

(2)填空：

①當(dāng)BE= 時(shí)，點(diǎn)C是AF的中點(diǎn)；

②當(dāng)BE= 時(shí)，四邊形OBDC是菱形，

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①6，②3

【解析】試題分析：（1）連結(jié)OD，由直線EF與 O相切于點(diǎn)D，得到OD⊥EF，由同圓的半徑相等推出∠1=∠3，由點(diǎn)D為的中點(diǎn)，得到∠1=∠2，證得∠2=∠3，得到OD∥AF，得出結(jié)論AF⊥EF；（2）①根據(jù)平行線分線段成比例定理，當(dāng)B為的AE中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)C是AF的中點(diǎn)；②由切線的性質(zhì)可證得OD⊥EF，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得到BD=OB=BE,

由D是的中點(diǎn)，得到CD=BD, 由此CD=BD=BO=OD,

試題解析：

(1)證明：連結(jié)OD，

∵直線EF與O相切于點(diǎn)D，

∴OD⊥EF，

∵OA=OD，

∴∠1=∠3，

∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，

∴∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∴OD∥AF，

∴AF⊥EF；

(2) ①當(dāng)BE=6時(shí)，

由（1）知，BC∥EF,當(dāng)AB=BE ,AC=CF,

∴BE=6時(shí),點(diǎn)C是AF的中點(diǎn)，

故答案為：6；

②當(dāng)BE=3時(shí)，

∵AB是⊙O的直徑,AB=6，

∴OB=OD=OC=BE=3，

∵ED是⊙O的切線,

∴OD⊥EF,

∴BD=OB=BE,

D是的中點(diǎn),

∴CD=BD,

∴CD=BD=BO=OD,

四邊形OBDC是菱形.

故答案為：3.