Question

【題目】有這樣一道習(xí)題：如圖1，已知OA和OB是⊙O的半徑，并且OA⊥OB，P是OA上任一點(diǎn)（不與O、A重合），BP的延長線交⊙O于Q，過Q點(diǎn)作⊙O的切線交OA的延長線于R．說明：RP=RQ．請?zhí)骄肯铝凶兓��?/span>

變化一：交換題設(shè)與結(jié)論．

已知：如圖1，OA和OB是⊙O的半徑，并且OA⊥OB，P是OA上任一點(diǎn)（不與O、A重合），BP的延長線交⊙O于Q，R是OA的延長線上一點(diǎn)，且RP=RQ．

求證：RQ為⊙O的切線．

變化二：運(yùn)動探究：

（1）如圖2，若OA向上平移，變化一中的結(jié)論還成立嗎？（只需交待判斷）

（2）如圖3，如果P在OA的延長線上時，BP交⊙O于Q，過點(diǎn)Q作⊙O的切線交OA的延長線于R，原題中的結(jié)論還成立嗎？為什么？

（3）若OA所在的直線向上平移且與⊙O無公共點(diǎn)，請你根據(jù)原題中的條件完成圖4，并判斷結(jié)論是否還成立？（只需交待判斷）

Answer 1

【答案】變化一：見解析；變化二：（1）若OA向上平移，變化一中的結(jié)論還成立；（2）原題中的結(jié)論還成立，理由見解析；（3）原題中的結(jié)論還成立.

【解析】

原命題的證明：連接OQ，利用RQ為⊙O的切線，得出∠OQB+∠PQR=90°；根據(jù)半徑OB=OQ及OA⊥OB，得出∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPO=90°；從而得∠PQR=∠QPR，由在同一個三角形中，等角對等邊，證明結(jié)論.

變化一的證明：與原命題的證明過程相反，由RP=RQ，可知∠PQR=∠QPR=∠BPO；由OB=OQ，OA⊥OB得出∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPO=90°；再利用互余關(guān)系將角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，證明∠OQB+∠PQR=90°，即∠OQR=90°；最后由∠OQR=90°即可知RQ為⊙O的切線；

變化二的證明：連接OQ，仿照原命題的證明方法進(jìn)行即可.

證明：連接OQ，

∵RQ為⊙O的切線，

∴∠OQR=∠OQB+∠PQR=90°，

又∵OB=OQ，OA⊥OB，

∴∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPO=90°，

∴∠PQR=∠BPO，

而∠BPO=∠QPR，

∴∠PQR=∠QPR，

∴RP=RQ；

變化一：

證明：∵RP=RQ，∴∠PQR=∠QPR=∠BPO，

又∵OB=OQ，OA⊥OB，

∴∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPO=90°，

∴∠OQB+∠PQR=90°，即∠OQR=90°，

∴RQ為⊙O的切線；

變化二．

（1）若OA向上平移，變化一中的結(jié)論還成立；

（2）原題中的結(jié)論還成立．

理由：連接OQ，

∵RQ為⊙O的切線，

∴∠OQR=90°，∠BQO+∠RQP=90°，

又∵OB=OQ，OP⊥OB，

∴∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPO=90°，

∴∠RQP=∠BPO，

∴RP=RQ；

（3）原題中的結(jié)論還成立，如圖．