Question

【題目】小明研究了這樣一道幾何題：如圖1，在△ABC中，把AB點A順時針旋轉α (0°＜α＜180°)得到AB′，把AC繞點A逆時針旋轉β得到AC′，連接B′C′．當α+β=180°時，請問△AB′C′邊B′C′上的中線AD與BC的數(shù)量關系是什么？以下是他的研究過程：

特例驗證：

(1)①如圖2，當△ABC為等邊三角形時，AD與BC的數(shù)量關系為AD=　 　BC；

②如圖3，當∠BAC=90°，BC=8時，則AD長為　 　．

猜想論證：

(2)在圖1中，當△ABC為任意三角形時，猜想AD與BC的數(shù)量關系，并給予證明．

拓展應用

(3)如圖4，在四邊形ABCD，∠C=90°，∠A+∠B=120°，BC=12，CD=6，DA=6，在四邊形內部是否存在點P，使△PDC與△PAB之間滿足小明探究的問題中的邊角關系？若存在，請畫出點P的位置(保留作圖痕跡，不需要說明)并直接寫出△PDC的邊DC上的中線PQ的長度；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1)①；②4

(2) AD=BC，理由見解析

(3)存在，3

【解析】

(1)①由已知條件可得AD⊥B′C′，由α+β=180°可得∠BAC+∠B′AC′=180°，已知∠BAC=60°，可求得∠B′AC′=120°繼而∠B′=∠C′=30°，可得AD=AB′=BC

②當∠BAC=90°時，可得∠B′AC′=∠BAC=90°，△B′AC′是直角三角形，可證得△BAC≌△B′AC′，推出對應邊相等，已知BC=8求出AD的長.

（2）先做輔助線，延長AD到M，使得AD=DM，連接B′M、C′M，如圖1所示：

因為B′D=DC′，AD=DM，對角線相互平分，可得四邊形AC′MB′是平行四邊形，得出對應邊相等，由∠BAB′+∠CAC′=180°推得∠BAC=∠AB′M，可證明△BAC≌△AB′M，所以BC=AM，AD=BC；

(3)先做輔助線，作線段BC的垂直平分線交BE于P，即為點P的位置；延長AD交BC的延長線于M，線段BC的垂直平分線交BC于F，連接PA、PD、PC，作△PDC的中線PQ，連接DF交PC于O

假設P點存在，再證明理由.

根據(jù)已知角可得出△DCM是直角三角形，∠MDC=30°，可得出CM=2，DM=4存在；

∵CD=6，∠DCM=90°，∠MDC=30°，∠M=90°﹣∠MDC=60°，可求得EM=BM=7，DE=EM﹣DM=7﹣4=3，

由已知DA=6，推得AE=DE

且BE⊥AD，可得PF是線段BC的垂直平分線，證得PA=PD

因為PB=PC，PF∥CD，可求得CF=BC=6，利用線段長度可求得∠CDF=60°

利用全等三角形判定定理可證得△FCP≌△CFD(AAS)，進而證得四邊形CDPF是矩形，

得∠CDP=90°，∠ADP =60°，可得△ADP是等邊三角形，求出DQ、DP，在Rt△PDQ中可求得PQ長度.

(1)①∵△ABC是等邊三角形

∴AB=BC=AC=AB′=AC′，∠BAC=60°

∵DB′=DC′

∴AD⊥B′C′

∵∠BAB′+∠CAC′=180°

∴∠BAC+∠B′AC′=180°

∴∠B′AC′=180°﹣∠BAC=180°﹣60°=120°

∴∠B′=∠C′=30°

∴AD=AB′=BC

故答案：

②∵∠BAB′+∠CAC′=180°

∴∠BAC+∠B′AC′=180°

∵∠BAC=90°

∴∠B′AC′=∠BAC=90°

在△BAC和△B′AC′中，

∴△BAC≌△B′AC′(SAS)

∴BC=B′C′

∵B′D=DC′

∴AD=B′C′=BC=4

故答案：4

(2)AD與BC的數(shù)量關系：AD=BC；理由如下：

延長AD到M，使得AD=DM，連接B′M、C′M，如圖1所示：

∵B′D=DC′，AD=DM，

∴四邊形AC′MB′是平行四邊形，

∴∠B′AC′+∠AB′M=180°，AC′=B′M=AC，

∵∠BAB′+∠CAC′=180°，

∴∠BAC+∠B′AC′=180°，

∴∠BAC=∠AB′M，

在△BAC和△AB′M中，，

∴△BAC≌△AB′M(SAS)，

∴BC=AM，

∴AD=BC；

(3)存在；作BE⊥AD于E，作線段BC的垂直平分線交BE于P，即為點P的位置；理由如下：

延長AD交BC的延長線于M，線段BC的垂直平分線交BC于F，連接PA、PD、PC，作△PDC的中線PQ，連接DF交PC于O，如圖4所示：

∵∠A+∠B=120°，

∴∠ADC=150°，

∴∠MDC=30°，

在Rt△DCM中，∵CD=6，∠DCM=90°，∠MDC=30°，

∴CM=2，DM=4，∠M=90°﹣∠MDC=60°，

在Rt△BEM中，∵∠BEM=90°，BM=BC+CM=12+2=14，∠MBE=90°﹣∠M=30°，

∴EM=BM=7，

∴DE=EM﹣DM=7﹣4=3，

∵DA=6，

∴AE=DE，

∵BE⊥AD，

∴PA=PD，

∵PF是線段BC的垂直平分線，

∴PB=PC，PF∥CD，

在Rt△CDF中，∵CD=6，CF=BC=6，

∴tan∠CDF===，

∴∠CDF=60°，

∴∠MDF=∠MDC+∠CDF=30°+60°=90°，

∴∠ADF=90°=∠AEB，

∴∠CBE=∠CFD，

∵∠CBE=∠PCF，

∴∠CFD=∠PCF=30°，

∵∠CFD+∠CDF=90°，∠PCF+∠CPF=90°，

∴∠CPF=∠CDF=60°，

在△FCP和△CFD中，，

∴△FCP≌△CFD(AAS)，

∴CD=PF，

∵CD∥PF，

∴四邊形CDPF是矩形，

∴∠CDP=90°，

∴∠ADP=∠ADC﹣∠CDP=60°，

∴△ADP是等邊三角形，

∴∠APD=60°，

∵∠BPF=∠CPF=90°﹣30°=60°，

∴∠BPC=120°，

∴∠APD+∠BPC=180°，

∴△PDC與△PAB之間滿足小明探究的問題中的邊角關系；

在Rt△PDQ中，∵∠PDQ=90°，PD=DA=6，DN=CD=3，

∴PQ===．