Question

【題目】如圖1，在中，，點分別在邊上，，連接，點分別為的中點.

（1）觀察猜想

圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是________，的度數(shù)是________；

（2）探究證明

把繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接，判斷的形狀，并說明理由；

（3）拓展延伸

把繞點在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，請直接寫出面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）;；（2）是等邊三角形；理由見解析；（3）.

【解析】

（1）利用三角形的中位線得出PM=CE，PN=BD，進(jìn)而判斷出BD=CE，即可得出結(jié)論，再利用三角形的中位線得出PM∥CE得出∠DPM=∠DCA，最后用互余即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM=BD，PN=BD，即可得出PM=PN，同（1）的方法即可得出結(jié)論；
（3）先判斷出BD最大時，△PMN的面積最大，而BD最大是AB+AD=12，再判斷出BD最小時，△PMN最小，即可得出結(jié)論．

解：（1）∵點是的中點，

∴，

∵點是的中點，

∴，

∵，

∴，

∴;

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴.

故答案為：，.

（2）是等邊三角形.

由旋轉(zhuǎn)知， ，

∵，

∴，

∴，

利用三角形的中位線得，，

∴，

∴是等腰三角形，

同（1）的方法得， ，

∴，

同（1）的方法得，，

∴，

∵，

∴

，

∵，

∴，

∴，

∴是等邊三角形；

（3）由（2）知， 是等邊三角形，，

∴最大時， 面積最大，

最小時， 的面積最小.

∴點在的延長線上， 的面積最大，

∴，

∴，

∴.

當(dāng)點在線段上時， 的面積最小，

∴，

∴，

∴.

∴.