Question

（2005•長春）如圖所示，邊長為1的正方形OABC的頂點A在x軸的正半軸上，將正方形OABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)30°，使點A落在拋物線y=ax²（a＜0）的圖象上．
（1）求拋物線y=ax²的函數(shù)關系式；
（2）正方形OABC繼續(xù)按順時針旋轉(zhuǎn)多少度時，點A再次落在拋物線y=ax²的圖象上并求這個點的坐標．
（參考數(shù)據(jù)：sin30°=，cos30°=，tan30°=．）

Answer 1

【答案】分析：（1）由于OA順時針旋轉(zhuǎn)30°后A點落在拋物線上，設此時的A點為A₁，過A₁作A₁⊥x軸于M，那么可根據(jù)正方形的邊長和∠A₁OA的度數(shù)求出A₁M和OM的長，即可得出A₁的坐標，然后根據(jù)A₁的坐標即可求出拋物線的解析式．
（2）根據(jù)拋物線的對稱性即可得出要經(jīng)過120°點A才會再落到拋物線的圖象上．且此點與A1關于y軸對稱，即坐標為（-，-）．
解答：解：（1）設旋轉(zhuǎn)后點A落在拋物線上點A₁處，OA₁=OA=1，
過A₁作A₁M⊥x軸于M，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知：∠A₁OM=30°，
則OM=OA₁cos30°=，A₁M=OA₁sin30°=，
所以A₁（，-）．
由A₁在y=ax²上，代入拋物線解析式得：-=a（）²
解得a=-，
∴y=-x²

（2）由拋物線關于y軸對稱，再次旋轉(zhuǎn)后點A落在拋物線點A₂處，點A₂與點A₁關于y軸對稱，
因此再次旋轉(zhuǎn)120°，點A₂的坐標為（-，-）．
點評：本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換、二次函數(shù)的確定、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點．