Question

【題目】如圖，四邊形是菱形，且，點(diǎn)是對(duì)角線上一點(diǎn)，，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)射線，旋轉(zhuǎn)角度為，并交射線于點(diǎn)，連接，，，

（1）①當(dāng)時(shí)，補(bǔ)全圖形，并證明；

②當(dāng)時(shí)，直接寫出線段，，之間的關(guān)系；

（2）在平面上找到一點(diǎn)，使得對(duì)于任意的，總有，直接寫出點(diǎn)的位置．

（3）選擇下面任意一問回答即可（全卷最多不超過100分）

A．證明（1）②的結(jié)論．

B．根據(jù)（2）中找到的的位置，證明

Answer 1

【答案】（1）①見解析；（1）②；（2）過點(diǎn)G作AG的垂線與AG繞點(diǎn)A順時(shí)針針旋轉(zhuǎn)的交點(diǎn)為k；（3）見解析

【解析】

（1）①連接EB，通過AAS證△CBE≌△EBG；

（1）②將ED轉(zhuǎn)化為EB，EC轉(zhuǎn)化為BG，在Rt△EGB中得到線段直角的關(guān)系；

（2）構(gòu)造含30°的Rt△AGK，即可得到結(jié)論；

（3）前2問已證明

(1)①圖形如下,連接BE

∵四邊形ABCD是菱形,∠BAD=60°

∴∠DCE=∠BCE=30°

∵∠DEC=∠GBC =50°

∴根據(jù)菱形的對(duì)稱性∠BEC=50°,

在△BCE中,

∴∠EBG=180°-∠BCE-∠GBC-∠BEC=50°=∠GEB

∴在△EDC中,∠EDC=100°

∴在四邊形ADCB中,∠EBC=100°,∴∠BEC=∠EBG

∵BE=BE

∴△CBE≌△EBG

∴EG=BC

②

（2）如下圖，過點(diǎn)G作AG的垂線，交AC于點(diǎn)M，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)AG至AK處，使得∠GAD=∠KAC，AK與GM的交點(diǎn)為點(diǎn)K

（3）A.

根據(jù)菱形的對(duì)稱性,ED=EB,∠BEC=∠DEC=45°

∴∠GEB=90°,△GEB是直角三角形

∵∠BGE=∠BCE=30°，

則有EG= ,

過B點(diǎn)作BH⊥CE于點(diǎn)H，

∵∠CEB=45°，∠ECB=30°，

∴

∴

B.

∵∠DAC=30°，∠GAD=∠KAC

∴∠GAK=30°

∵AG⊥GM

∴△AGK是直角三角形，且∠GAK=30°

∴