Question

如圖，AB，AC是⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為B，C，連接OB，OC，在⊙O外作∠BAD=∠BAO，AD交OB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．
（1）在圖中找出一對(duì)全等三角形，并進(jìn)行證明；
（2）如果⊙O的半徑為3，sin∠OAC=

1

2

，試求切線AC的長(zhǎng)；
（3）試說(shuō)明：△ABD分別是由△ABO，△ACO經(jīng)過(guò)哪種變換得到的．（直接寫(xiě)出結(jié)果）

Answer 1

分析：本題可根據(jù)三角形全等，切線的性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)解答．
（1）直接利用全等的條件易證△ACO≌△ABO；
（2）利用切線的性質(zhì)可得到直角三角形，利用三角函數(shù)值可分別求得所需線段的長(zhǎng)度，再利用勾股定理求得AC的長(zhǎng)；
（3）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和軸對(duì)稱的性質(zhì)可直接得到．

解答：解：（1）在△ACO與△ABO中，
∵OC=OB，∠ABO=∠ACO=90°，
∴∠BAO=∠CAO，OA為公共邊．
∴△ACO≌△ABO．

（2）∵AC切⊙O于點(diǎn)C，
∴OC⊥AC；
在Rt△ACO中，
∵sin∠OAC=

1

2

，
∴

OC

OA

=

1

2

．
∵OC=3，
∴AO=6．
∴AC=

AO2-OC2

=

62-32

=3

3

．

（3）△ABD是由△ABO沿直線AB折疊得到（或△ABD與△ABO關(guān)于直線AB對(duì)稱），
△ABD是由△ACO繞A點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)∠CAB（或∠OAD）而得到．

點(diǎn)評(píng)：本題的信息量較大，涉及面較廣，是一道較有難度的題目，同學(xué)們需細(xì)心解答．