【題目】有兩張完全重合的矩形紙片,小亮同學(xué)將其中一張繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形AMEF(如圖1),連接BD、MF,若此時他測得BD=8cm,∠ADB=30度.請回答下列問題:(1)試探究線段BD與線段MF的關(guān)系,并簡要說明理由;
(2)小紅同學(xué)用剪刀將△BCD與△MEF剪去,與小亮同學(xué)繼續(xù)探究.他們將△ABD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得△AB1D1,AD1交FM于點K(如圖2),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為β(0°<β<90°),當(dāng)△AFK為等腰三角形時,請直接寫出旋轉(zhuǎn)角β的度數(shù);
(3)若將△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2(如圖3),F(xiàn)2M2與AD交于點P,A2M2與BD交于點N,當(dāng)NP∥AB時,求平移的距離是多少?
【答案】(1)BD=MF,BD⊥MF.理由見解析;
(2)β的度數(shù)為60°或15°;
(3)平移的距離是(6﹣2)cm.
【解析】
試題(1)有兩張完全重合的矩形紙片,小亮同學(xué)將其中一張繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形AMEF(如圖1),得BD=MF,△BAD≌△MAF,推出BD=MF,∠ADB=∠AFM=30°,進(jìn)而可得∠DNM的大。
(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出結(jié)論.
(3)求平移的距離是A2A的長度.在矩形PNA2A中,A2A=PN,只要求出PN的長度就行.用△DPN∽△DAB得出:,解得A2A的大。
試題解析:(1)BD=MF,BD⊥MF.
延長FM交BD于點N,
由題意得:△BAD≌△MAF.
∴BD=MF,∠ADB=∠AFM.
又∵∠DMN=∠AMF,
∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90°,
∴∠DNM=90°,
∴BD⊥MF;
(2)當(dāng)AK=FK時,∠KAF=∠F=30°,
則∠BAB1=180°﹣∠B1AD1﹣∠KAF=180°﹣90°﹣30°=60°,
即β=60°;
②當(dāng)AF=FK時,∠FAK==75°,
∴∠BAB1=90°﹣∠FAK=15°,
即β=15°;
∴β的度數(shù)為60°或15°;
(3)由題意得矩形PNA2A.設(shè)A2A=x,則PN=x,
在Rt△A2M2F2中,∵F2M2=FM=8,
∴A2M2=4,A2F2=4,∴AF2=4﹣x.
∵∠PAF2=90°,∠PF2A=30°,
∴AP=AF2tan30°=4﹣x.
∴PD=AD﹣AP=4﹣4+x.
∵NP∥AB,
∴∠DNP=∠B.
∵∠D=∠D,
∴△DPN∽△DAB.
∴.
∴,
解得x=6﹣2.
即A2A=6﹣2.
答:平移的距離是(6﹣2)cm.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若點P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等,則稱點P為等值點.例如點
(1,1),(-2,-2),(,),…,都是等值點.已知二次函數(shù)的
圖象上有且只有一個等值點 ,且當(dāng)m≤x≤3時,函數(shù) 的最小值為-9,最大值為-1,則m的取值范圍是__________.
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【題目】如圖,在△ABC中,點E是邊AC上一點,線段BE垂直于∠BAC的平分線于點D,點M為邊BC的中點,連接DM.
(1)求證: DM=CE;
(2)若AD=6,BD=8,DM=2,求AC的長.
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【題目】如圖,有6個質(zhì)地和大小均相同的球,每個球只標(biāo)有一個數(shù)字,將標(biāo)有3,4,5的三個球放入甲箱中,標(biāo)有4,5,6的三個球放入乙箱中.
(1)小宇從甲箱中隨機模出一個球,求“摸出標(biāo)有數(shù)字是3的球”的概率;
(2)小宇從甲箱中、小靜從乙箱中各自隨機摸出一個球,若小宇所摸球上的數(shù)字比小靜所摸球上的數(shù)字大1,則稱小宇“略勝一籌”.請你用列表法(或畫樹狀圖)求小宇“略勝一籌”的概率.
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【題目】正方形、、、…按如圖所示的方式放置.點、、、…和點、、、…分別在直線和軸上,則點的坐標(biāo)是__________.(為正整數(shù))
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【題目】為了美化環(huán)境,建設(shè)宜居成都,我市準(zhǔn)備在一個廣場上種植甲、乙兩種花卉.經(jīng)市場調(diào)查,甲種花卉的種植費用(元)與種植面積之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示,乙種花卉的種植費用為每平方米100元.
(1)直接寫出當(dāng)和時,與的函數(shù)關(guān)系式;
(2)廣場上甲、乙兩種花卉的種植面積共,若甲種花卉的種植面積不少于,且不超過乙種花卉種植面積的2倍,那么應(yīng)該怎樣分配甲、乙兩種花卉的種植面積才能使種植費用最少?最少總費用為多少元?
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【題目】如圖,長方體的長為15,寬為10,高為20,點B離點C的距離為5,一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B,需要爬行的最短距離是__________
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【題目】如圖,矩形ABCD中,AD=8,AB=4,將此矩形折疊,使點B與點D重合,折痕為EF,連接BE、DF,以B為原點建立平面直角坐標(biāo)系,使BC、BA邊分別在x軸和y軸的正半軸上.
(1)試判斷四邊形BFDE的形狀,并說明理由;
(2)求直線EF的解析式.
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