Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,正方形OABC的邊長(zhǎng)為a．直線(xiàn)y＝bx＋c交x軸于E,交y軸于F,且a,b,c分別滿(mǎn)足：-（a－4）2≥0，c=++8．

（1）直線(xiàn)y＝bx＋c的解析式為________；正方形OABC的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)D的坐標(biāo)為________；

（2）若正方形OABC沿x軸負(fù)方向以每秒移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移，設(shè)平移的時(shí)間為t秒，問(wèn)是否存在t的值，使直線(xiàn)EF平分正方形OABC的面積？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）點(diǎn)P為正方形OABC的對(duì)角線(xiàn)AC上的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)A、C除外），PM⊥PO，交直線(xiàn)AB于M，在備用圖中畫(huà)圖分析，直接寫(xiě)出的值．

Answer 1

【答案】（1）y=2x+8， D（2，2）；（2）t=5；（3）.

【解析】

（1）由已知條件易得：a=4，b=2，c=8，由此即可得到直線(xiàn)EF的解析式為：y=2x+8，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，4），結(jié)合點(diǎn)D是正方形OABC對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，2）；

（2）由點(diǎn)D是正方形OABC的對(duì)稱(chēng)中心可知，當(dāng)點(diǎn)D落在直線(xiàn)EF上時(shí)，直線(xiàn)EF平分正方形OABC的面積，由已知條件設(shè)當(dāng)點(diǎn)D落在EF上時(shí)的坐標(biāo)為（2-t，2），將此坐標(biāo)代入直線(xiàn)EF的解析式即可求得對(duì)應(yīng)的t的值；

（3）如圖2，過(guò)P點(diǎn)作PQ∥OA，PH∥CO，交CO、AB于N、Q，交CB、OA于G、H，結(jié)合已知條件易證四邊形PNCG是正方形，四邊形PGBQ是矩形，四邊形OHGC是矩形，PH=PQ，∠OPH=∠MPQ，由此證得△OPH≌△MPQ，從而可得QM=OH=CG=GP=BQ=BM，結(jié)合PC=GP即可得到PC=BM，由此即可得到.

（1）∵，

∴且，

∴b=2，c=8，

∴直線(xiàn)y=bx+c的解析式為：y=2x+8；

∵，

∴ ，

∴a=4，

∴OA=AB=4，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，4），

∴點(diǎn)D是正方形OABC對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，

∴點(diǎn)D是線(xiàn)段OB的交點(diǎn)，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，2）；

（2）存在，理由如下：

如圖1，∵點(diǎn)D是正方形OABC的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，

∴過(guò)點(diǎn)D的直線(xiàn)都能把正方形AOCB的面積分成相等的兩部分，

∴當(dāng)正方形AOCB平移到直線(xiàn)EF過(guò)D點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)正好平分正方形的面積，

設(shè)平移后的D點(diǎn)坐標(biāo)為（2-t，2），

把它代入直線(xiàn)y=2x+8，2（2-t）+8=2，

解得：t=5；

（3）如圖2，過(guò)P點(diǎn)作PQ∥OA，PH∥CO，交CO、AB于N、Q，交CB、OA于G、H，

∵∠OPM=∠HPQ=90°，

∴∠OPH+∠HPM=90°，∠HPM+∠MPQ=90°，

∴∠OPH=∠MPQ，

∵AC為∠BAO平分線(xiàn)，且PH⊥OA，PQ⊥AB，

∴PH=PQ，

在△OPH和△MPQ中：

∴△OPH≌△MPQ（AAS），

∴OH=QM，

∵PQ∥OA，PH∥CO，交CO、AB于N、Q，交CB、OA于G、H，四邊形AOBC是正方形，

∴易得四邊形CNPG為正方形，四邊形PGBQ是矩形，四邊形OHGC是矩形，

∴PG=BQ=CG=OH=QM，

∴PG=BM，

∵在正方形CNPG中，PC=PG，

∴PC=BM，

∴.