Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣1，0)和點(diǎn)B(3，0)，該拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)P在x軸上方，線段PB繞著點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至PC（點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)C），點(diǎn)C恰好落在拋物線上．

（1）求拋物線的表達(dá)式并寫出拋物線的對(duì)稱軸；

（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)Q在拋物線上，聯(lián)結(jié)AC，如果∠QAC＝∠ABC，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3，x＝1；（2）(1，1)；（3）(，﹣)

【解析】

（1）將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；

（2）證明△PMC≌△BNP（AAS），則PM＝BN，MC＝PN，即可求解；

（3）設(shè)MH＝3x，用x表示AM、GM，利用AG＝AM+GM＝，求出x的值；在△AOH中，OH＝，求得點(diǎn)H的坐標(biāo)，即可求解．

（1）將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，解得：，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+3①；

函數(shù)的對(duì)稱軸為：x＝1；

（2）設(shè)點(diǎn)C（m，n），則n＝﹣m2+2m+3，點(diǎn)P（1，s），

如圖1，設(shè)拋物線對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥PN交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)M，

∵∠PBN+∠BPN＝90°，∠BPN+∠MPC＝90°，

∴∠MPC＝∠PBN，

∵∠PMC＝∠BNP＝90°，PB＝PC，

∴△PMC≌△BNP（AAS），

∴PM＝BN，MC＝PN，

∴ ，解得：，

故點(diǎn)C（2，3），點(diǎn)P（1，1）；

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）；

（3）設(shè)直線AC交y軸于點(diǎn)G，直線AQ交y軸于點(diǎn)H，

由（2）知，點(diǎn)C（2，3），而點(diǎn)A（﹣1，0），

過(guò)點(diǎn)C作CK⊥x軸于點(diǎn)K，則CK＝AK＝3，

故直線AC的傾斜角為45°，故∠AGO＝∠GAO＝45°，

∴tan∠ABC＝＝3

∵∠QAC＝∠ABC，

∴tan∠QAC＝3；

在△AGH中，過(guò)點(diǎn)H作HM⊥AG于點(diǎn)M，設(shè)MH＝3x，

∵∠AGO＝45°，則GO＝AO＝1，

∴MG＝MH＝3x，

∵tan∠QAC＝3，則AM＝x，

AG＝AM+GM＝x+3x＝＝，

解得：x＝，

在△AHM中，AH＝＝x＝，

在△AOH中，OH＝＝，故點(diǎn)H（0，﹣），

由點(diǎn)A、H的坐標(biāo)得，直線AH的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣②，

聯(lián)立①②并解得：x＝﹣1（舍去）或，

故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（，﹣）．