Question

【題目】如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)A、B，與軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)在軸上，連接AD．

（1）＝　 　；

（2）若點(diǎn)是拋物線在第二象限上的點(diǎn)，過點(diǎn)作PF⊥x軸，垂足為，與交于點(diǎn)E．是否存在這樣的點(diǎn)P，使得PE=7EF？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）若點(diǎn)在拋物線上，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于-4，過點(diǎn)作，垂足為H，直線與軸交于點(diǎn)K，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）P點(diǎn)坐標(biāo)（-2,8）；（3）P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，9）或（-1，9）或（，-）.

【解析】

（1）B點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)得出b值；

（2）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)求出其余點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出線段長度，根據(jù)所給關(guān)系列出等式，即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）延長AD交拋物線于T，過P作PF⊥x軸于F，交AD于E，根據(jù)同角的余角相等易證cos∠FAD=cos∠EPH=，進(jìn)而求得PH=PE，根據(jù)已知的面積的關(guān)系式可求得PK=PH，進(jìn)而求得PE，PF關(guān)系，設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，可用t表示PE，PF，可列得關(guān)于t的方程，求得的t值要注意是否符合各種情況下t的取值范圍．

（1）∵y=-x+bx+8，B點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)，∴b=-2；

故答案為：-2；

（2）由（1）得y=-x-2x+8，∴A點(diǎn)坐標(biāo)（-4,0），B點(diǎn)坐標(biāo)（2,0），

∵D點(diǎn)坐標(biāo)為（0,2），

∴AD解析式為y=x+2，

設(shè)P（t，-t-2t+8），

∴EF=+2，PE=-t-t+6，

若PE=7EF，則有-t-t+6=7(+2)，

解得t=-2或t=-4（舍去），

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,8），

故存在這樣的點(diǎn)P，使得PE=7EF，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2,8）；

（3）如圖，延長AD交拋物線于T，過P作PF⊥x軸于F，交AD于E，

①若P在直線AT上方，

∵OA=4，OD=2，∠AOD=90°，

∴AD==2√5，

∵AH⊥PH，

∴∠FAD+∠AEF=90°，∠EPH+∠PEH=90°，∠AEF=∠PEH，

∴∠FAD=∠EPH，

∴cos∠FAD====cos∠EPH=，

∴PH=PE，

∴cos∠FPK==，∴PK=PF，

∵，∴HK=PH，∴PK=PH，

∴PF=PH=PE，

∴=，

設(shè)P（t，-t-2t+8），

則有5(-t-2t+8)=6(-t-t+6)，

得t+5t+4=0，

解得t=-1或t=-4（舍去），

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，9）；

②若P在直線AT下方，且在x軸上方，此時S△AKA＞S△PHA，與題意不符，舍去；

③若P在x軸下方，可得2PE=5PF，

得方程2(t+t-6)=6(t+2t-8)，

得3t+5t-28=0，

解得t=或t=-4（舍去），

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（，-），

綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，9）或（-1，9）或（，-）．