Question

【題目】已知：點(diǎn)O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離OD=OE，且OB＝OC.
（1）如圖，若點(diǎn)O在BC上，求證：AB＝AC；

（2）如圖，若點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部，求證：AB＝AC；

（3）若點(diǎn)O在△ABC的外部，AB＝AC成立嗎？請畫圖表示.

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：過點(diǎn)O分別作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

由題意知，

在Rt△OEB和Rt△OFC中

∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL）， （1）由HL判斷出Rt△OEB≌Rt△OFC ，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等得出∠ABC=∠ACB ，根據(jù)等角等等邊得出AB=AC ；

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC

（2）證明：過點(diǎn)O分別作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，

由題意知，OE=OF．∠BEO=∠CFO=90°，

∵在Rt△OEB和Rt△OFC中

∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），

∴∠OBE=∠OCF，

又∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC；

（3）解：不一定成立，當(dāng)∠A的平分線所在直線與邊BC的垂直平分線重合時(shí)AB=AC，否則AB≠AC．（如圖）

【解析】 （1）由HL判斷出Rt△OEB≌Rt△OFC ，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等得出∠ABC=∠ACB ，根據(jù)等角等等邊得出AB=AC ；
（2）過點(diǎn)O分別作OD⊥AB于D，EF⊥AC于E，根據(jù)HL判斷出Rt△ODB≌Rt△OEC ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠OBD=∠OCE，由根據(jù)等邊對等角得出∠OBC=∠OCB，從而得出∠ABC=∠ACB，根據(jù)等角對等邊得出AB=AC；
（3）不一定成立，當(dāng)∠A的平分線所在直線與邊BC的垂直平分線重合時(shí)AB=AC，否則AB≠AC．（如圖）
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用角平分線的性質(zhì)定理和線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握定理1：在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等； 定理2：一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上；垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等即可以解答此題．