Question

【題目】如圖所示，在△ABC中，，D、E分別是邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且，連結(jié)AD、AE，點(diǎn)M、N、P分別是CD、AE、AC的中點(diǎn)，設(shè)．

（1）觀察猜想

①在求的值時(shí)，小明運(yùn)用從特殊到一般的方法，先令，解題思路如下：

如圖1，先由，得到，再由中位線的性質(zhì)得到，

，進(jìn)而得出△PMN為等邊三角形，∴．

②如圖2，當(dāng)，仿照小明的思路求的值；

（2）探究證明

如圖3，試猜想的值是否與的度數(shù)有關(guān)，若有關(guān)，請(qǐng)用含的式子表示出，若無關(guān)，請(qǐng)說明理由；

（3）拓展應(yīng)用

如圖4，，點(diǎn)D、E分別是射線AB、CB上的動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)M、N、P分別是線段CD、AE、AC的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出MN的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）②；（2）的值與的度數(shù)有關(guān)，；（3）MN的長(zhǎng)為或．

【解析】

（1）②先根據(jù)線段的和差求出，再根據(jù)中位線定理、平行線的性質(zhì)得出，從而可得出，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得；

（2）參照題（1）的方法，得出為等腰三角形和的度數(shù)，再利用等腰三角形的性質(zhì)即可求出答案；

（3）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)D、E分別是邊AB、CB上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)和當(dāng)點(diǎn)D、E分別是邊AB、CB的延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，如圖（見解析），先利用等腰三角形的性質(zhì)與判定得出，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)得出BC、CE的長(zhǎng)，由根據(jù)等腰三角形的三線合一性得出，從而可得的值，最后分別利用（2）的結(jié)論即可得MN的長(zhǎng)．

（1）②

∴

∴為等腰直角三角形，

∵點(diǎn)M、N、P分別是CD、AE、AC的中點(diǎn)

∴

∴為等腰直角三角形，

∴

即；

（2）的值與的度數(shù)有關(guān)，求解過程如下：

由（1）可知，，即為等腰三角形

如圖5，作

則

在中，，即

則；

（3）依題意，分以下兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)D、E分別是邊AB、CB上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)

如圖6，作的角平分線交AB邊于點(diǎn)F，并連結(jié)BP

，

，即

設(shè)，則

解得或（不符題意，舍去）

即

由（2）可知，

點(diǎn)P是AC上的中點(diǎn)

，（等腰三角形的三線合一）

在中，，即

②如圖7，當(dāng)點(diǎn)D、E分別是邊AB、CB的延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)

同理可得：

綜上，MN的長(zhǎng)為或．