解:(1)把點A的橫坐標為

代入y=

x,∴其縱坐標為1,
把點(

,1)代入y=

,解得:k=

.
(2)∵雙曲線y=

上點C的縱坐標為3,∴橫坐標為

,
∴過A,C兩點的直線方程為:y=kx+b,把點(

,1),(

,3),代入得:

,
解得:

,
∴y=-

x+4,設(shè)y=-

x+4與x軸交點為D,
則D點坐標為(

,0),
∴△AOC的面積=S
△COD-S
△AOD=

×

×3-

×

×1=

.
(3)設(shè)P點坐標(a,

a),由直線AB解析式可知,直線AB與y軸正半軸夾角為60°,
∵以O(shè)、M、P、N為頂點的四邊形是有一組對角為60°的菱形,P在直線y=

x上,
∴點M只能在y軸上,∴N點的橫坐標為a,代入y=

,解得縱坐標為:

,
根據(jù)OP=NP,即得:|

|=|

-

|,
解得:a=±1.
故P點坐標為:(1,

)或(-1,-

).
分析:(1)把點A的橫坐標為

代入y=

x求出其縱坐標,然后把A點的坐標代入y=

求出k即可.
(2)根據(jù)縱坐標為3,求出橫坐標,再求出過A,C兩點的直線方程,然后根據(jù)△AOC的面積=S
△COD-S
△AOD求解即可.
(3)設(shè)P點坐標(a,

a),根據(jù)題意,點M只能在縱坐標軸上,
點評:本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點及反比例函數(shù)圖象上坐標的特征,難度較大,關(guān)鍵掌握用待定系數(shù)法解函數(shù)的解析式.