Question

如圖，已知直線y=x與雙曲線y=交于A、B兩點，且點A的橫坐標為．
（1）求k的值；
（2）若雙曲線y=上點C的縱坐標為3，求△AOC的面積；
（3）在坐標軸上有一點M，在直線AB上有一點P，在雙曲線y=上有一點N，若以O(shè)、M、P、N為頂點的四邊形是有一組對角為60°的菱形，請寫出所有滿足條件的點P的坐標．

Answer 1

解：（1）把點A的橫坐標為代入y=x，∴其縱坐標為1，
把點（，1）代入y=，解得：k=．

（2）∵雙曲線y=上點C的縱坐標為3，∴橫坐標為，
∴過A，C兩點的直線方程為：y=kx+b，把點（，1），（，3），代入得：
，
解得：，
∴y=-x+4，設(shè)y=-x+4與x軸交點為D，
則D點坐標為（，0），
∴△AOC的面積=S_△COD-S_△AOD=××3-××1=．

（3）設(shè)P點坐標（a，a），由直線AB解析式可知，直線AB與y軸正半軸夾角為60°，
∵以O(shè)、M、P、N為頂點的四邊形是有一組對角為60°的菱形，P在直線y=x上，
∴點M只能在y軸上，∴N點的橫坐標為a，代入y=，解得縱坐標為：，
根據(jù)OP=NP，即得：||=|-|，
解得：a=±1．
故P點坐標為：（1，）或（-1，-）．
分析：（1）把點A的橫坐標為代入y=x求出其縱坐標，然后把A點的坐標代入y=求出k即可．
（2）根據(jù)縱坐標為3，求出橫坐標，再求出過A，C兩點的直線方程，然后根據(jù)△AOC的面積=S_△COD-S_△AOD求解即可．
（3）設(shè)P點坐標（a，a），根據(jù)題意，點M只能在縱坐標軸上，
點評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點及反比例函數(shù)圖象上坐標的特征，難度較大，關(guān)鍵掌握用待定系數(shù)法解函數(shù)的解析式．