(2010•嘉興)如圖,已知拋物線y=-x2+x+4交x軸的正半軸于點A,交y軸于點B.
(1)求A、B兩點的坐標,并求直線AB的解析式;
(2)設P(x,y)(x>0)是直線y=x上的一點,Q是OP的中點(O是原點),以PQ為對角線作正方形PEQF,若正方形PEQF與直線AB有公共點,求x的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,記正方形PEQF與△OAB公共部分的面積為S,求S關于x的函數(shù)解析式,并探究S的最大值.

【答案】分析:(1)拋物線的解析式中,令x=0可求出B點的坐標,令y=0可求出A點的坐標,然后用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式;
(2)可分別求出當點P、點Q在直線AB上時x的值,即可得到所求的x的取值范圍;
(3)此題首先要計算出一個關鍵點:即直線AB過E、F時x的值(由于直線AB與直線OP垂直,所以直線AB同時經(jīng)過E、F),此時點E的坐標為(x,),代入直線AB的解析式即可得到x=;
①當2≤x<時,直線AB與PE、PF相交,設交點為C、D;那么重合部分的面積為正方形QEPF和等腰Rt△PDC的面積差,由此可得到關于S、x的函數(shù)關系式,進而可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍求出S的最大值及對應的x的值;
②當≤x≤4時,直線AB與QE、QF相交,設交點為M、N;此時重合部分的面積為等腰Rt△QMN的面積,可參照①的方法求出此時S的最大值及對應的x的值;
綜合上述兩種情況,即可比較得出S的最大值及對應的x的值.
解答:解:(1)令y=0,
得-x2+x+4=0,即x2-2x-8=0;
解得x=-2,x=4;
所以A(4,0);
令x=0,得y=4,
所以B(0,4);
設直線AB的解析式為y=kx+b,
則有:,
解得,故此直線的解析式為:y=-x+4;

(2)當P(x,y)在直線AB上時,x=-x+4,解得x=2;
當Q(,)在直線AB上時,=-+4,解得x=4;
所以正方形PEQF與直線AB有公共點,且2≤x≤4;

(3)當點E(x,)在直線AB上時,
(此時點F也在直線AB上)=-x+4,解得x=;
①當2≤x<時,直線AB分別與PE、PF有交點,
設交點分別為C、D;
此時PC=x-(-x+4)=2x-4,又PD=PC,
所以S△PCD=PC2=2(x-2)2;
S=S正方形PEQF-S△PCD=QE2-S△PCD=(x-2-S△PCD
從而S=x2-2(x-2)2=-x2+8x-8=-(x-2+;
因為2≤
所以當x=時,Smax=;
②當≤x≤4時,直線AB分別與QE、QF有交點,設交點分別為M、N;
此時QN=(-+4)-=-x+4,又QM=QN,
所以S△QMN=QN2=(x-4)2,
即S=(x-4)2
當x=時,Smax=;
綜合①②得:當x=時,Smax=
點評:此題考查了函數(shù)圖象與坐標軸交點坐標的求法、一次函數(shù)解析式的確定、正方形的性質(zhì)、圖形面積的求法以及二次函數(shù)的應用等知識,綜合性強,難度較大.
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