Question

（2010•嘉興）如圖，已知拋物線y=-x²+x+4交x軸的正半軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并求直線AB的解析式；
（2）設(shè)P（x，y）（x＞0）是直線y=x上的一點(diǎn)，Q是OP的中點(diǎn)（O是原點(diǎn)），以PQ為對角線作正方形PEQF，若正方形PEQF與直線AB有公共點(diǎn)，求x的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，記正方形PEQF與△OAB公共部分的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并探究S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）拋物線的解析式中，令x=0可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，令y=0可求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式；
（2）可分別求出當(dāng)點(diǎn)P、點(diǎn)Q在直線AB上時x的值，即可得到所求的x的取值范圍；
（3）此題首先要計(jì)算出一個關(guān)鍵點(diǎn)：即直線AB過E、F時x的值（由于直線AB與直線OP垂直，所以直線AB同時經(jīng)過E、F），此時點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，），代入直線AB的解析式即可得到x=；
①當(dāng)2≤x＜時，直線AB與PE、PF相交，設(shè)交點(diǎn)為C、D；那么重合部分的面積為正方形QEPF和等腰Rt△PDC的面積差，由此可得到關(guān)于S、x的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍求出S的最大值及對應(yīng)的x的值；
②當(dāng)≤x≤4時，直線AB與QE、QF相交，設(shè)交點(diǎn)為M、N；此時重合部分的面積為等腰Rt△QMN的面積，可參照①的方法求出此時S的最大值及對應(yīng)的x的值；
綜合上述兩種情況，即可比較得出S的最大值及對應(yīng)的x的值．
解答：解：（1）令y=0，
得-x²+x+4=0，即x²-2x-8=0；
解得x=-2，x=4；
所以A（4，0）；
令x=0，得y=4，
所以B（0，4）；
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
則有：，
解得，故此直線的解析式為：y=-x+4；

（2）當(dāng)P（x，y）在直線AB上時，x=-x+4，解得x=2；
當(dāng)Q（，）在直線AB上時，=-+4，解得x=4；
所以正方形PEQF與直線AB有公共點(diǎn)，且2≤x≤4；

（3）當(dāng)點(diǎn)E（x，）在直線AB上時，
（此時點(diǎn)F也在直線AB上）=-x+4，解得x=；
①當(dāng)2≤x＜時，直線AB分別與PE、PF有交點(diǎn)，
設(shè)交點(diǎn)分別為C、D；
此時PC=x-（-x+4）=2x-4，又PD=PC，
所以S_△PCD=PC²=2（x-2）²；
S=S_{正方形PEQF}-S_△PCD=QE²-S_△PCD=（x-）²-S_△PCD
從而S=x²-2（x-2）²=-x²+8x-8=-（x-）²+；
因?yàn)?≤＜，
所以當(dāng)x=時，Smax=；
②當(dāng)≤x≤4時，直線AB分別與QE、QF有交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)分別為M、N；
此時QN=（-+4）-=-x+4，又QM=QN，
所以S_△QMN=QN²=（x-4）²，
即S=（x-4）²；
當(dāng)x=時，Smax=；
綜合①②得：當(dāng)x=時，Smax=．
點(diǎn)評：此題考查了函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、一次函數(shù)解析式的確定、正方形的性質(zhì)、圖形面積的求法以及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識，綜合性強(qiáng)，難度較大．