Question

【題目】已知，如圖，在R t△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分線AD交BC邊于D．

（1）動(dòng)手操作：利用尺規(guī)作，以AB邊上一點(diǎn)O為圓心，過(guò)A，D兩點(diǎn)作⊙O，與AB的另一個(gè)交點(diǎn)為E，與AC的另一個(gè)交點(diǎn)為F（不寫作法，保留作圖痕跡），再判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由。
（2）若∠BAC=60度，CD= ，求線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積．（結(jié)果保留根號(hào)和 ）

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1；

（2）解：（1）直線BC與⊙O的位置關(guān)系為相切．理由如下：

如圖1，連接OD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ADO，

∵∠BAC的角平分線AD交BC邊于D，

∴∠CAD=∠OAD，

∴∠CAD=∠ADO，

∴AC∥OD，

∵∠C=90°，

∴∠ODB=90°，

∴OD⊥BC，

即直線BC是⊙O的切線，

∴直線BC與⊙O的位置關(guān)系為相切；

（2）如圖2，

∵∠BAC的角平分線AD交BC于D，∠BAC=60°，∠C=90°，

∴∠CAD=∠DAB=30°，∠B=30°，

∴∠DAB=∠B=30°，

∴BD=AD．

∵在Rt△ADC中，∠C=90°，∠CAD=30°，CD= ，

∴AD=2CD=2 ，AC= CD=3，

∴BD=2 ，AB=2AC=6．

設(shè)⊙O的半徑為r，

在Rt△OBD中，OD2+BD2=OB2，

即r2+（2 ）2=（6﹣r）2，

解得r=2，OB=6﹣r=4，

∵∠ODB=90°，∠B=30°，

∴∠DOB=60°，

∴S扇形ODE= ，

S△ODB= ODBD= ×2×2 =2 ，

∴線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積為：S△ODB﹣S扇形ODE= ．

【解析】（1）根據(jù)題意作線段AD的垂直平分線，交AB于點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OA為半徑畫圓。要證直線BC于圓相切，因此連接OD，去證明OD⊥BC。先根據(jù)角平分線的定義得出∠CAD=∠OAD，再由OA=OD，證出∠OAD=∠ADO，根據(jù)等量代換得出∠CAD=∠ADO，就可證明AC∥OD，由∠C=90°，得出OD⊥BC，即可證得結(jié)論。
（2）觀察圖形可知線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積=△OBD的面積-扇形DOE的面積，根據(jù)已知先求出OD和BD的長(zhǎng)，及圓心角∠DOE的度數(shù)，就可求出△OBD的面積和扇形DOE的面積，即可求出結(jié)果。
【考點(diǎn)精析】利用勾股定理的概念和扇形面積計(jì)算公式對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）．