Question

【題目】如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B，以線段AB為邊在第一象限內(nèi)作等邊△ABC，

(1)求△ABC的面積；

(2)如果在第二象限內(nèi)有一點P(a，)，試用含a的式子表示四邊形ABPO的面積，并求出當△ABP的面積與△ABC的面積相等時a的值；

(3)在x軸上，存在這樣的點M，使△MAB為等腰三角形.請直接寫出所有符合要求的點M的坐標.

Answer 1

【答案】解：根據(jù)條件，A、B兩點的坐標分別是()、().

(1) 在△ABO中，由勾股定理，得.

所以正△ABC的高是，從而△ABC的面積是.

(2) 過P作PD垂直OB于D，則四邊形ABPO的面積

.

當△ABP的面積與△ABC的面積相等時，

四邊形ABPO的面積－△AOP的面積＝△ABC的面積，

即.

解得.

(3) 符合要求的點M的坐標分別是()、()、()、()

【解析】

（1）由一次函數(shù)解析式可求出OA、OB的長度，在Rt△OAB中可求出AB的長度，再由等邊三角形的性質(zhì)可求出△ABC的面積；（2）依題意可得出S四邊形ABPO=S△ABO+S△BOP，當S△ABP=S△ABC時求出a值．（3）①以AB為腰的等腰三角形有三個，②以AB為底邊的等腰三角形有1一個，分別求出點M的坐標即可．

解：（1）∵函數(shù)解析式為：y＝

∴點B坐標為（0，1），點A坐標為（，0），
∴OA=，OB=1，
在Rt△OAB中，AB==2，
則等邊三角形ABC的面積為AB2=．

（2）S四邊形ABPO=S△ABO+S△BOP=×OA×OB+×OB×h=××1+×1×|a|．
∵P在第二象限，∴S四邊形ABPO=-==，
S△ABP=SABPO-S△AOP=（-）-×OA×．
∴S△ABP=--=-=S△ABC=．
∴a=-．

（3）（2）存在點M，使△MAB為等腰三角形
①若以AB為腰，如圖所示：

當點M位于M1位置時，OM1=OA+AM1=OA+AB=2+，
此時點M1坐標為（2+，0）；
當點M位于M2位置時，OM2=OA=，
此時點M2坐標為（-，0）；
當點M位于M3位置時，OM3=AB=2，
此時點M3坐標為（-2，0）；
②若以AB為底邊，如圖所示：

作AB的中垂線交x軸于點M4，則此時△M4AB為等腰三角形，
∵OB=1，OA=，
∴∠OAB=30°，
∵AB=2，M4N是AB的中垂線，
∴AN=1，
在Rt△ANM4中，AM4==，
則OM4=OA-AM4=，
則此時M4的坐標為（，0）．
綜上可得存在點M，使△MAB為等腰三角形，點M的坐標為：M1（2+，0）或M2（-，0）或M3（-2，0）或M4（，0）．