Question

【題目】已知，，，在的延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

(1)當(dāng)時(shí)，如圖1，依題意補(bǔ)全圖形，直接寫(xiě)出，，的數(shù)量關(guān)系；

(2)當(dāng)時(shí)，如圖2，判斷，，之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

(3)當(dāng)時(shí)()，請(qǐng)寫(xiě)出，，之間的數(shù)量關(guān)系并寫(xiě)出解題思路．

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3).

【解析】

（1）先根據(jù)已知條件畫(huà)出圖形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（2）如圖2，過(guò)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，易證四邊形為平行四邊形，為等腰直角三角形，則由等腰直角三角形的性質(zhì)知，進(jìn)一步即可得出結(jié)論；

（3）由(2)可知四邊形為平行四邊形，為等腰三角形，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，然后在直角△BDN中，根據(jù)∠BDN的正弦可得BN、BD的關(guān)系，整理即可得出結(jié)論.

解：（1）圖形如圖1所示，

根據(jù)題意易知：△ABC與△ADE都是等邊三角形，所以，，的數(shù)量關(guān)系為：．

（2）結(jié)論：．

理由：過(guò)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

∵，，∴四邊形為平行四邊形．

∴．

∵，∴．

∵，∴．

∴．∴．

∴．∴．

∵，∴．

∴為等腰直角三角形．

在中，∵，∴．

∴．

（3）結(jié)論：．

理由：如圖，輔助線同（2），則由(2)可知四邊形為平行四邊形，為等腰三角形，

過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，．

在中，，∴.

于是．

故結(jié)論為：．