Question

如圖所示，已知拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），拋物線的對稱軸x=2交x軸于點(diǎn)E．
（1）求交點(diǎn)A的坐標(biāo)及拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P與A，B，C三點(diǎn)構(gòu)成一個平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）連接CB交拋物線對稱軸于點(diǎn)D，在拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使得直線CQ把四邊形DEOC分成面積比為1：7的兩部分？若存在，請求出點(diǎn)Q坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）代入拋物線y=x²+bx+c得到b，c的關(guān)系式；又因?yàn)閽佄锞�的對稱軸x=2，可求出b的值，進(jìn)而求出求交點(diǎn)A的坐標(biāo)及拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）分別以AC，AB為對角線各可求得一點(diǎn)，再以AC，AB為邊求得一點(diǎn)；
（3）此小題要分類討論：當(dāng)分的圖象左邊部分是三角形，右邊部分是四邊形或當(dāng)分的圖象左邊部分是四邊形，右邊部分是三角形時分別計(jì)算滿足題意的Q值即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c與x軸交點(diǎn)B（3，0），對稱軸x=2，
∴

0=9+3b+c 2= b 2

，
解得：

b=-4 c=3

∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=x²-4x+3，
令y=0，則x²-4x+3=0，
解得：x₁=1，x₂=3．
∴拋物線與x軸另一個交點(diǎn)A的坐標(biāo)（1，0）；

（2）存在，
滿足條件的點(diǎn)P有3個，分別為（-2，3），（2，3），（4，-3）．

（3）存在，
①直線CQ與OE相交，
當(dāng)x=0時，y=x²-4x+3=3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），
過點(diǎn)C、Q的直線關(guān)系式y(tǒng)=-9x+3
∴

y=-9x+3 y=x2-4x+3

解得：

x=-5 y=48

，
∴Q（-5，48）；
②直線CQ與DE相交，
過點(diǎn)C、Q的直線關(guān)系式y(tǒng)=-

5

4

x+3，
∴

y=- 5 4 x+3 y=x 2-4x+3

，
∴

x= 11 4 y=- 7 16

，
∴Q（

11

4

，-

7

16

）．
綜上所述符合條件的Q有兩個坐標(biāo)分別是（-5，48）；（

11

4

，-

7

16

）．

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)，四邊形的綜合知識，解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．此題屬于中考中的壓軸題，難度較大，知識點(diǎn)考查的較多而且聯(lián)系密切，需要學(xué)生認(rèn)真審題．