Question

（2012•衡陽）如圖所示，已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，D在拋物線上，且AD平行x軸，交y軸于點(diǎn)F，AB的中點(diǎn)E在x軸上，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1），點(diǎn)P（a，b）在拋物線上運(yùn)動．（點(diǎn)P異于點(diǎn)O）
（1）求此拋物線的解析式．
（2）過點(diǎn)P作CB所在直線的垂線，垂足為點(diǎn)R，
①求證：PF=PR；
②是否存在點(diǎn)P，使得△PFR為等邊三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
③延長PF交拋物線于另一點(diǎn)Q，過Q作BC所在直線的垂線，垂足為S，試判斷△RSF的形狀．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意能判斷出點(diǎn)O是矩形ABCD的對角線交點(diǎn)，因此D、B關(guān)于原點(diǎn)對稱，A、B關(guān)于x軸對稱，得到A、D的坐標(biāo)后，利用待定系數(shù)法可確定拋物線的解析式．
（2）①首先根據(jù)拋物線的解析式，用一個未知數(shù)表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后表示出PF、RF的長，兩者進(jìn)行比較即可得證；
②首先表示RF的長，若△PFR為等邊三角形，則滿足PF=PR=FR，列式求解即可；
③根據(jù)①的思路，不難看出QF=QS，若連接SF、RF，那么△QSF、△PRF都是等腰三角形，先用∠SQF、∠RPF表示出∠DFS、∠RFP的和，用180°減去這個和值即可判斷出△RSF的形狀．

解答：解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，
∴A、D關(guān)于拋物線的對稱軸對稱；
∵E是AB的中點(diǎn)，
∴O是矩形ABCD對角線的交點(diǎn)，又B（2，1）
∴A（2，-1）、D（-2，-1）；
由于拋物線的頂點(diǎn)為（0，0），可設(shè)其解析式為：y=ax²，則有：
4a=-1，a=-

1

4

∴拋物線的解析式為：y=-

1

4

x²．

（2）①證明：由拋物線的解析式知：P（a，-

1

4

a²），而R（a，1）、F（0，-1），
則：PF=

(a-0)2+(- 1 4 a2+1)2

=

1 16 a4+ 1 2 a2+1

=

1

4

a²+1，PR=1-（-

1

4

a²）=

1

4

a²+1．
∴PF=PR．

②由①得：RF=

a2+4

；
若△PFR為等邊三角形，則RF=PF=PR，得：

a2+4

=

1

4

a²+1，即：

1

16

a⁴-

1

2

a²-3=0，得：
a²=-4（舍去），a²=12；
∴a=±2

3

，-

1

4

a²=-3；
∴存在符合條件的P點(diǎn)，坐標(biāo)為（2

3

，-3）、（-2

3

，-3）．

③同①可證得：QF=QS；
在等腰△SQF中，∠1=

1

2

（180°-∠SQF）；
同理，在等腰△RPF中，∠2=

1

2

（180°-∠RPF）；
∵QS⊥BC、PR⊥BC，
∴QS∥PR，∠SQP+∠RPF=180°
∴∠1+∠2=

1

2

（360°-∠SQF-∠RPF）=90°
∴∠SFR=180°-∠1-∠2=90°，
即△SFR是直角三角形．

點(diǎn)評：該題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及解析式的確定、矩形的性質(zhì)、特殊三角形的判定等知識，綜合性較強(qiáng)．在解答題目時，要注意數(shù)形結(jié)合，并靈活應(yīng)用前面小題中證得的結(jié)論．