Question

（2002•廣元）如圖，點I是△ABC的內心，AI交BC于D，交△ABC的外接圓于點E．
①求證：IE=BE；
②線段IE是哪兩條線段的比例中項，試加以證明．

Answer 1

【答案】分析：①連接BI，證∠BIE=∠IBE即可；∠IBE=∠4+∠5，∠BIE=∠2+∠3；觀察上述兩個式子：I是△ABC的內心，則∠3=∠4，∠1=∠2；而∠1=∠5，由此可得∠5=∠2；即∠BIE=∠IBE，由此得證；
②由①知：IE=BE，即證BE是哪兩條線段的比例中項，可通過找以BE為公共邊的相似三角形；由①證得∠5=∠2，易證得△BDE∽△ABE，由此可得出所求的結論．
解答：①證明：連接BI．
∵I是△ABC的內心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4；
∵∠BIE=∠3+∠2，∠EBI=∠4+∠5，且∠5=∠1，
∴∠BIE=∠EBI；
∴IE=BE；

②解：考慮有公共邊公共角的相似三角形及IE=BE，知：IE是DE和AE的比例中項．
證明如下：
∵∠5=∠1，∠1=∠2；
∴∠5=∠2；
又∵∠E=∠E，
∴△BED∽△AEB；
∴BE：DE=AE：BE；
∴BE²=AE•DE；
又∵IE=BE，
∴IE²=AE•DE．
點評：此題主要考查了三角形內心的性質、圓周角定理及相似三角形的判定和性質．