Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+mx+2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸直線x=交x軸于點D．

（1）求m的值；

（2）在拋物線的對稱軸上找出點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形，直接寫出P點的坐標；

（3）點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，與x軸相交于點H，連接CF、BF、OE，當四邊形CDBF的面積最大時，請你說明四邊形OCFE的形狀．

Answer 1

【答案】（1）（2）P1（，），P2（，﹣），P3（，4）（3）平行四邊形

【解析】

試題分析：（1）根據對稱軸公式，可得m的值；

（2）根據等腰三角形的定義，可得P點坐標；

（3）根據平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得EF的長，根據三角形的面積公式，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得n的值，根據平行四邊形的判定，可得答案．

試題解析：（1）∵對稱軸是直線x=，

∴﹣=，

∴m=；

（2）由勾股定理，得

CD=，當CD=DP=時，P（，），（，﹣），

當CD=CP時，設P點坐標為（，b），

∴=，

解得b=4，P（，4），

綜上所述：P1（，），P2（，﹣），P3（，4）；

（3）四邊形OCFE是平行四邊形，

由拋物線y=﹣x2+x+2，

令y=0，﹣ x2+x+2=0，解得x1=﹣1，x2=4，

∴B（4，0），A（﹣1，0），

當x=0時，y=2，即C（0，2），

設BC的解析式為y=kx+b，把B（4，0），C（0，2）代入，得

，解得，

直線BC解析式為y=﹣x+2．

點F在拋物線上，設F的坐標為（n，﹣ n2+n+2），

點E在BC上，E點的坐標為（n，﹣ n+2），

EF=FH﹣EH=﹣n2+2n，

∵，

=BD·CO=×（4﹣1.5）×2=， =EF·OB=×4×（﹣n2+2n）=﹣n2+4n，

=﹣n2+4n+=﹣（n﹣2）2+，

當n=2時，四邊形CDBF的面積最大，此時EF=﹣n2+2n=2，EH=﹣n+2=1，OH=2，OE==．

∵OC=EF=2，OC∥EF，

∴四邊形OCFE是平行四邊形．