Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于 A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，OB=OC．點(diǎn)D在函數(shù)圖象上，CD∥x軸，且CD=2，直線l是拋物線的對(duì)稱軸，E是拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求b、c的值；

（2）如圖①，連接BE，線段OC上的點(diǎn)F關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)F'恰好在線段BE上，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（3）如圖②，動(dòng)點(diǎn)P在線段OB上，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線分別與BC交于點(diǎn)M，與拋物線交于點(diǎn)N．試問(wèn)：拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得△PQN與△APM的面積相等，且線段NQ的長(zhǎng)度最��？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）c=﹣3；（2）點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，﹣2）；（3）存在點(diǎn)Q滿足題意．存在滿足題意的點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為（，）或（，）．

【解析】分析：（1）由條件可求得拋物線對(duì)稱軸，則可求得b的值；由OB=OC，可用c表示出B點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得c的值；
（2）可設(shè)F則可表示出F′的坐標(biāo)，由B、E的坐標(biāo)可求得直線BE的解析式，把F′坐標(biāo)代入直線BE解析式可得到關(guān)于m的方程，可求得F點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，可表示出PA、PB、PN的長(zhǎng)，作 垂足為R，則可求得QR的長(zhǎng)，用n可表示出Q、R、N的坐標(biāo)，在中，由勾股定理可得到關(guān)于n的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可知其取得最小值時(shí)n的值，則可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)，

詳解：（1）∵CD∥x軸，CD=2，

∴拋物線對(duì)稱軸為x=1．

∴

∵OB=OC，

∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為

∴ 解得或 （舍去），

∴

（2）設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為

∵對(duì)稱軸為直線x=1，

∴點(diǎn)F關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為

由（1）可知拋物線解析式為

∴

∵直線BE經(jīng)過(guò)點(diǎn)

∴利用待定系數(shù)法可得直線BE的表達(dá)式為

∵點(diǎn)在BE上，

∴ 即點(diǎn)F的坐標(biāo)為

（3）存在點(diǎn)Q滿足題意．

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，則

作 垂足為R，

∵

∴

∴

點(diǎn)Q在直線PN的左側(cè)時(shí)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為 R點(diǎn)的坐標(biāo)為N點(diǎn)的坐標(biāo)為

∴在中，

∴時(shí)，NQ取最小值1．此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為

點(diǎn)Q在直線PN的右側(cè)時(shí)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為

同理，

∴時(shí)，NQ取最小值1．此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為

綜上可知存在滿足題意的點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為或