Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)是拋物線上、之間的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，軸，交拋物線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，當(dāng)矩形的周長(zhǎng)最大時(shí)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

(3)如圖2，連接、，點(diǎn)在線段上(不與、重合)，作，交線段于點(diǎn)，是否存在這樣點(diǎn)，使得為等腰三角形？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)；；(2)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；(3)AN=1或.

【解析】

(1)根據(jù)和點(diǎn)可得拋物線的表達(dá)式為，可知對(duì)稱軸為x=-2，代入解析式即可得出頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)，則，，可得矩形的周長(zhǎng)，即可求解；(3)由D為頂點(diǎn)，A、B為拋物線與x軸的交點(diǎn)可得AD=BD，即可證明∠DAB=∠DBA，根據(jù)，利用角的和差關(guān)系可得，即可證明，可得；分、、，三種情況分別求解即可．

(1)∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．

∴拋物線的表達(dá)式為：，

∴對(duì)稱軸為：x==-2，

把x=-2代入得：y=4，

∴頂點(diǎn).

(2)設(shè)點(diǎn)，

則，，

矩形的周長(zhǎng)，

∵，

∴當(dāng)時(shí)，矩形周長(zhǎng)最大，此時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

(3)∵點(diǎn)D為拋物線頂點(diǎn)，A、B為拋物線與x軸的交點(diǎn)，

∴AD=BD，

∴∠DAB=∠DBA，

∵，，，

∴，

∴，

∴，

∵D（-2，4），A（-5，0），B（1，0）

∴，，

①當(dāng)時(shí)，

∵∠NAM=∠MBD，∠NMA=∠MBD，

∴，

∴，

∴=AB-AM=1；

②當(dāng)時(shí)，則，

∵∠DMN=∠DBA，

∴∠NDM=∠DBA，

∵∠DAB是公共角，

∴，

∴，

∴，即：，

∴，

∵，即，

∴；

③當(dāng)時(shí)，

∵，而，

∴，

∴；

綜上所述：或．