Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O（0，0），A（0，﹣6），B（8，0）三點(diǎn)在⊙P上．

（1）求圓的半徑及圓心P的坐標(biāo)；
（2）M為劣弧 的中點(diǎn)，求證：AM是∠OAB的平分線；
（3）連接BM并延長交y軸于點(diǎn)N，求N，M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵O（0，0），A（0，﹣6），B（8，0），

∴OA=6，OB=8，

∴AB= =10，

∵∠AOB=90°，

∴AB為⊙P的直徑，

∴⊙P的半徑是5

∵點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，

∴P（4，﹣3）

（2）解：∵M(jìn)點(diǎn)是劣弧OB的中點(diǎn)，

∴ = ，

∴∠OAM=∠MAB，

∴AM為∠OAB的平分線

（3）解：連接PM交OB于點(diǎn)Q，如圖，

∵ = ，

∴PM⊥OB，BQ=OQ= OB=4，

在Rt△PBQ中，PQ= = =3，

∴MQ=2，

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2）；

∵M(jìn)Q∥ON，

而OQ=BQ，

∴MQ為△BON的中位線，

∴ON=2MQ=4，

∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4）．

【解析】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理和圓周角定理；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，記住線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，會(huì)利用勾股定理計(jì)算線段的長．此類題目通常解由半徑、弦心距和弦的一半所組成的直角三角形．（1）先利用勾股定理計(jì)算出AB=10，再利用圓周角定理的推理可判斷AB為⊙P的直徑，則得到⊙P的半徑是5，然后利用線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到P點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)圓周角定理由 = ，∠OAM=∠MAB，于是可判斷AM為∠OAB的平分線；（3）連接PM交OB于點(diǎn)Q，如圖，先利用垂徑定理的推論得到PM⊥OB，BQ=OQ= OB=4，再利用勾股定理計(jì)算出PQ=3，則MQ=2，于是可寫出M點(diǎn)坐標(biāo)，接著證明MQ為△BON的中位線得到ON=2MQ=4，然后寫出N點(diǎn)的坐標(biāo)．