已知在四邊形ABCD中,∠A=120°,∠ABC=90°,AD=3,BC=,BD=7
(1)求AB的長(zhǎng);(2)求CD的長(zhǎng).

【答案】分析:(1)過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,根據(jù)∠BAD=120°求出∠EAD=60°,然后求出∠EDA=30°,再根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AE的長(zhǎng)度,再利用勾股定理求出DE的長(zhǎng)度,然后在Rt△BDE中,利用勾股定理求出BE的長(zhǎng)度,然后根據(jù)AB=BE-AE計(jì)算即可;
(2)過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F,先判定四邊形BEDF是矩形,根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得BF的長(zhǎng)度,再根據(jù)BC的長(zhǎng)度求出CF的長(zhǎng)度,可得BF=CF,根據(jù)“邊角邊”證明△BDF和△CDF全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CD=BD,從而得解.
解答:解:(1)如圖,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,
∵∠A=120°,
∴∠EAD=60°,
∴∠EDA=90°-60°=30°,
∵AD=3,
∴AE=AD=
在Rt△ADE中,DE===
在Rt△BDE中,BE===,
所以,AB=BE-AE=-=5;

(2)過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F,
∵DE⊥AB,∠ABC=90°,
∴四邊形BEDF是矩形,
∴BF=DE=
∵BC=3,
∴CF=BC-BF=3-=,
∴BF=CF,
在△BDF和△CDF中,,
∴△BDF≌△CDF(SAS),
∴CD=BD,
∵BD=7,
∴CD=7.
點(diǎn)評(píng):本題考查了勾股定理,含30°角的直角三角形,作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是利用勾股定理求解的關(guān)鍵,還考查了全等三角形的判定與性質(zhì).
練習(xí)冊(cè)系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,已知在四邊形ABCD中,AD=AB,CD=CB,則∠D=∠B,試說(shuō)明理由.

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精英家教網(wǎng)如圖,已知在四邊形ABCD中,∠A=90°,AB=2cm,AD=
5
cm
,CD=5cm,BC=4cm,求四邊形ABCD的面積.

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23、如圖,已知在四邊形ABCD中,∠B=∠D=90度,AE、CF分別是∠DAB及∠DCB的平分線.則AE與FC有什么關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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精英家教網(wǎng)如圖,已知在四邊形ABCD中,AC與BD相交于點(diǎn)O,AB⊥AC,CD⊥BD.
(1)求證:△AOD∽△BOC;
(2)若sin∠ABO=
23
,S△AOD=4,求S△BOC的值.

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如圖,已知在四邊形ABCD中,∠ABC=2∠ADC=2a,點(diǎn)E、F分別在CB、CD的延長(zhǎng)線上,且EB=AB+AD,∠AEB=∠FAD,猜想線段AE、AF的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想.

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