Question

【題目】如圖1，拋物線 y=ax2+bx+c 與 x 軸交于A（1,0），B（-3,0），與 y 軸交于C（0，3），頂點(diǎn)是G.
（1）求拋物線的的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)G.
（2）如圖1，點(diǎn)D（x，y）是線段BG上的動(dòng)點(diǎn)（不與B，G重合），DE⊥x軸于E，設(shè)四邊形OEDC的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值.
（3）如圖2，將拋物線 y=ax2+bx+c 向下平移 k 個(gè)單位，平移后的頂點(diǎn)式 G' ，與 x 軸的交點(diǎn)是 A'，B' .若△A'B'G' 是直角三角形，求 k 的值.

Answer 1

【答案】
（1）解：∵與 x 軸的交點(diǎn)為A（1,0），B（-3,0），
∴設(shè)二次函數(shù)為 y=a(x+1)(x3)，
把C（0，3）代入 y=a(x+1)(x3)，
∴ a=-1 ，
∴ y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4.
∴G(-1，4).
（2）解：設(shè)直線BG解析式為 ：y=kx+b
∵B(3，0)，G(1，4) 在直線BG上，
∴，
∴，
∴ 直線BG解析式為：y=2x+6，
∴ D(x，2x+6)
∴ S===-x2-x （ 3<x<1 ），
當(dāng) x=-=-時(shí)，Smax=.
（3）解：設(shè)平移后的拋物線為 y=(x+1)2+m，
∴G'(-1,m)，A'（-1-，0），B'（-1+，0），
∴A'B'=2，B'G'=A'G'=，
∵△A'B'G'為直角三角形，
∴B'G'2+A'G'2=A'B'2，
∴m2m=0，
∴ m1=1 ， m2=0 （舍），
∴ y=(x+1)2+1，
∵由 y=(x+1)2+4 得到 y=(x+1)2+1
∴ 向下平移3個(gè)單位，
∴ k=3.
【解析】（1）根據(jù)題意可設(shè)二次函數(shù)為 y=a(x+1)(x3)，將C（0，3）代入 y=a(x+1)(x3)，從而求出拋物線解析式，即可得出頂點(diǎn)坐標(biāo).
（2）設(shè)直線BG解析式為 ：y=kx+b把B(3，0)，G(1，4) 代入即可得到一個(gè)二元一次方程組，解之即可得出直線BG解析式為：y=2x+6，從而表示D(x，2x+6)，再由S===-x2-x （ 3<x<1 ），由二次函數(shù)的性質(zhì)得出當(dāng) x=-=-時(shí)，Smax=.
（3）設(shè)平移后的拋物線為 y=(x+1)2+m，根據(jù)題意得G'(-1,m)，A'（-1-，0），B'（-1+，0），A'B'=2，B'G'=A'G'=，
在Rt△A'B'G'中，由勾股定理得m2m=0，從而求出m值，即可得出k值.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解確定一次函數(shù)的表達(dá)式(確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)法)，還要掌握二次函數(shù)圖象的平移(平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點(diǎn)（h,k）（2）對(duì)x軸左加右減；對(duì)y軸上加下減)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．